Bacalaureat 2024 la matematică M2: varianta de rezervă

Subiectul oficial M2, varianta de rezervă 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 2⋅(1,2+0,1)+0,4=32\cdot(1{,}2+0{,}1)+0{,}4=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 2⋅(1,2+0,1)+0,4=2⋅1,3+0,4=2\cdot(1{,}2+0{,}1)+0{,}4=2\cdot1{,}3+0{,}4=2 p
  2. =2,6+0,4=3=2{,}6+0{,}4=33 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=2x+1f(x)=2x+1. Determinați numărul real aa pentru care f(a)−f(2)=af(a)-f(2)=a.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Criterii (după barem)

  1. f(a)=2a+1f(a)=2a+1, f(2)=5f(2)=52 p
  2. 2a+1−5=a2a+1-5=a, de unde obținem a=4a=43 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡8(x2−5x+5)=log⁡8x\log_8\left(x^2-5x+5\right)=\log_8x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1 sau x=5x=5

Criterii (după barem)

  1. x2−5x+5=xx^2-5x+5=x, de unde obținem x2−6x+5=0x^2-6x+5=02 p
  2. x=1x=1 sau x=5x=5, care convin3 p

I.45 p

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A={1,3,4,6,8}A=\{1,3,4,6,8\}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 88

Criterii (după barem)

  1. Cifra unităților se poate alege în 22 moduri2 p
  2. Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 44 moduri, deci se pot forma 2⋅4=82\cdot4=8 numere3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,8)A(0,8), B(4,2)B(4,2) și CC, mijlocul segmentului OAOA. Determinați coordonatele mijlocului segmentului BCBC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (2,3)(2,3)

Criterii (după barem)

  1. C(0,4)C(0,4)2 p
  2. Mijlocul segmentului BCBC are coordonatele (2,3)(2,3)3 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=8AB=8 și C=π4C=\dfrac\pi4. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 3232.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. AC=8AC=83 p
  2. AΔABC=8⋅82=32\mathcal A_{\Delta ABC}=\dfrac{8\cdot8}{2}=322 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1313)A=\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix} și B(x)=(x−2x−2x−4x)B(x)=\begin{pmatrix}x-2&x-2\\x-4&x\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(B(5))=12\det\big(B(5)\big)=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. B(5)=(3315)⇒det⁡(B(5))=∣3315∣=3⋅5−3⋅1=B(5)=\begin{pmatrix}3&3\\1&5\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(B(5)\big)=\begin{vmatrix}3&3\\1&5\end{vmatrix}=3\cdot5-3\cdot1=3 p
  2. =15−3=12=15-3=122 p

II.1.b5 p

Determinați numărul real aa pentru care (B(4)−B(2))⋅A=aA\big(B(4)-B(2)\big)\cdot A=aA.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Criterii (după barem)

  1. B(4)−B(2)=(2204)−(00−22)=(2222)B(4)-B(2)=\begin{pmatrix}2&2\\0&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}, (B(4)−B(2))⋅A=(412412)=4A\big(B(4)-B(2)\big)\cdot A=\begin{pmatrix}4&12\\4&12\end{pmatrix}=4A3 p
  2. 4A=aA4A=aA, de unde obținem a=4a=42 p

II.1.c5 p

Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A⋅B(x)−4xI2)=0\det\big(A\cdot B(x)-4xI_2\big)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=0x=0 sau x=4x=4

Criterii (după barem)

  1. A⋅B(x)=(4x−144x−24x−144x−2)A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}4x-14&4x-2\\4x-14&4x-2\end{pmatrix}, A⋅B(x)−4xI2=(−144x−24x−14−2)A\cdot B(x)-4xI_2=\begin{pmatrix}-14&4x-2\\4x-14&-2\end{pmatrix}, de unde obținem det⁡(A⋅B(x)−4xI2)=−16x(x−4)\det\big(A\cdot B(x)-4xI_2\big)=-16x(x-4), pentru orice număr real xx3 p
  2. −16x(x−4)=0-16x(x-4)=0, de unde obținem x=0x=0 sau x=4x=42 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x(x−2)+y(y−2)x\circ y=x(x-2)+y(y-2).

II.2.a5 p

Arătați că 3∘3=63\circ3=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 3∘3=3(3−2)+3(3−2)=3\circ3=3(3-2)+3(3-2)=3 p
  2. =3+3=6=3+3=62 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real xx pentru care 2∘x=x2+22\circ x=x^2+2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1x=-1

Criterii (după barem)

  1. 2∘x=x2−2x2\circ x=x^2-2x și obținem −2x=2-2x=23 p
  2. x=−1x=-12 p

II.2.c5 p

Arătați că x∘y≥−2x\circ y\ge-2, pentru orice numere reale xx și yy.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∘y=x2−2x+y2−2y=x\circ y=x^2-2x+y^2-2y=2 p
  2. =x2−2x+1+y2−2y+1−2=(x−1)2+(y−1)2−2≥−2=x^2-2x+1+y^2-2y+1-2=(x-1)^2+(y-1)^2-2\ge-2, pentru orice numere reale xx și yy3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=2x−1x−3f(x)=2\sqrt x-\dfrac1x-3.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=xx+1x2f'(x)=\dfrac{x\sqrt x+1}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=1x+1x2=f'(x)=\dfrac1{\sqrt x}+\dfrac1{x^2}=3 p
  2. =xx+1x2=xx+1x2=\dfrac{\sqrt x}{x}+\dfrac1{x^2}=\dfrac{x\sqrt x+1}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x=1, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=2x−4y=2x-4

Criterii (după barem)

  1. f(1)=−2f(1)=-2, f′(1)=2f'(1)=22 p
  2. Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y-f(1)=f'(1)(x-1), adică y=2x−4y=2x-43 p

III.1.c5 p

Demonstrați că funcția ff este bijectivă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)>0f'(x)>0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒fx\in(0,+\infty)\Rightarrow f este strict crescătoare pe (0,+∞)(0,+\infty), deci ff este injectivă2 p
  2. lim⁡x→0f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty și ff este continuă, deci ff este surjectivă, de unde obținem că ff este bijectivă3 p

III.2

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=4xx2+1f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫12(x2+1)f(x) dx=6\displaystyle\int_1^2\left(x^2+1\right)f(x)\,dx=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫12(x2+1)f(x) dx=∫124x dx=2x2∣12=\displaystyle\int_1^2\left(x^2+1\right)f(x)\,dx=\int_1^2 4x\,dx=\left.2x^2\right|_1^2=3 p
  2. =8−2=6=8-2=62 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫23f(x) dx=2ln⁡2\displaystyle\int_2^3f(x)\,dx=2\ln2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫23f(x) dx=∫234xx2+1 dx=2∫23(x2+1)′x2+1 dx=2ln⁡(x2+1)∣23=\displaystyle\int_2^3f(x)\,dx=\int_2^3\frac{4x}{x^2+1}\,dx=2\int_2^3\frac{\left(x^2+1\right)'}{x^2+1}\,dx=\left.2\ln\left(x^2+1\right)\right|_2^3=3 p
  2. =2ln⁡10−2ln⁡5=2ln⁡2=2\ln10-2\ln5=2\ln22 p

III.2.c5 p

Determinați m∈(1,+∞)m\in(1,+\infty) pentru care ∫1m(f(x)x)3dx=6\displaystyle\int_1^m\left(\frac{f\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}\right)^3dx=6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=3m=3

Criterii (după barem)

  1. ∫1m(f(x)x)3dx=∫1m64(x+1)3 dx=−32(x+1)2∣1m=−32(m+1)2+8\displaystyle\int_1^m\left(\frac{f\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}\right)^3dx=\int_1^m\frac{64}{(x+1)^3}\,dx=\left.-\frac{32}{(x+1)^2}\right|_1^m=-\frac{32}{(m+1)^2}+83 p
  2. −32(m+1)2+8=6-\dfrac{32}{(m+1)^2}+8=6 și, cum m∈(1,+∞)m\in(1,+\infty), obținem m=3m=32 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M2.