Bacalaureat 2024 la matematică M2: sesiunea specială

Subiectul oficial M2, sesiunea specială 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că $6-2\sqrt5+\sqrt5\cdot\left(2-\sqrt5\right)=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$6-2\sqrt5+\sqrt5\cdot\left(2-\sqrt5\right)=6-2\sqrt5+2\sqrt5-\sqrt5\cdot\sqrt5=$ 2 p
$=6-5=1$ 3 p

I.25 p

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=2x-3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(1)=0$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=2$

Criterii (după barem)

$f(a)=2a-3$ , $f(1)=-1$ 3 p
$2a-3-1=0$ , de unde obținem $a=2$ 2 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $10^{x-1}=10^{-2x}\cdot10^2$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=1$

Criterii (după barem)

$10^{x-1}=10^{-2x+2}$ , de unde obținem $x-1=-2x+2$ 3 p
$x=1$ 2 p

I.45 p

Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ , au ambele cifre pare.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $6$

Criterii (după barem)

Cifra zecilor se poate alege în $3$ moduri3 p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte $2$ moduri, deci sunt $3\cdot2=6$ numere2 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,6)$ și $B(6,0)$ . Determinați distanța dintre punctele $B$ și $M$ , unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $OA$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $BM=5$

Criterii (după barem)

$M(2,3)$ 2 p
$BM=5$ 3 p

I.65 p

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AC=6$ și aria egală cu $24$ . Arătați că $AB=8$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\mathcal A_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}$ , deci $24=\dfrac{AB\cdot6}{2}$ 3 p
$AB=\dfrac{24\cdot2}{6}=8$ 2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$ și $B(x)=\begin{pmatrix}x+1&x+4\\2x&4x-3\end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că $\det A=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\det A=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=$ 3 p
$=2-1=1$ 2 p

II.1.b5 p

Determinați numărul real $x$ pentru care $\det\big(B(x)-xA\big)=x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=-1$

Criterii (după barem)

$B(x)-xA=\begin{pmatrix}1&4\\x&2x-3\end{pmatrix}$ , de unde obținem $\det\big(B(x)-xA\big)=-2x-3$ , pentru orice număr real $x$ 3 p
$-2x-3=x$ , de unde obținem $x=-1$ 2 p

II.1.c5 p

Determinați numărul real $x$ pentru care $B(x)+B(x+2)=2A\cdot A\cdot A$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=3$

Criterii (după barem)

$A\cdot A=\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}$ , $2A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}10&16\\16&26\end{pmatrix}$ 3 p
$B(x)+B(x+2)=\begin{pmatrix}2x+4&2x+10\\4x+4&8x+2\end{pmatrix}$ , deci $\begin{pmatrix}2x+4&2x+10\\4x+4&8x+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&16\\16&26\end{pmatrix}$ și obținem $x=3$ 2 p

II.2

Se consideră polinomul $f=X^3+mX^2-2X-4$ , unde $m$ este număr real.

II.2.a5 p

Pentru $m=6$ , arătați că $f(1)=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f=X^3+6X^2-2X-4\Rightarrow f(1)=1^3+6\cdot1^2-2\cdot1-4=$ 3 p
$=1+6-2-4=1$ 2 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real $m$ pentru care $(x_1x_2x_3)^2=x_1+x_2+x_3+x_1x_2x_3$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=-12$

Criterii (după barem)

$x_1+x_2+x_3=-m$ , $x_1x_2x_3=4$ 2 p
$16=-m+4$ , de unde obținem $m=-12$ 3 p

II.2.c5 p

Determinați rădăcinile polinomului $f$ , știind că restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X-2$ este egal cu $8$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $-2$ , $-\sqrt2$ și $\sqrt2$

Criterii (după barem)

$f(2)=8\Rightarrow4m=8$ , de unde obținem $m=2$ 2 p
$f=X^3+2X^2-2X-4=(X+2)\left(X-\sqrt2\right)\left(X+\sqrt2\right)$ , deci rădăcinile polinomului $f$ sunt $-2$ , $-\sqrt2$ și $\sqrt2$ 3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=\dfrac{3-x}{x^2}+\ln x$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f'(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x^3}$ , $x\in(0,+\infty)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f'(x)=\dfrac{-x^2-2x(3-x)}{x^4}+\dfrac1x=$ 3 p
$=\dfrac{x-6}{x^3}+\dfrac1x=\dfrac{x^2+x-6}{x^3}$ , $x\in(0,+\infty)$ 2 p

III.1.b5 p

Arătați că $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-\ln x\big)=0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-\ln x\big)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac3{x^2}-\dfrac{x}{x^2}\right)=$ 3 p
$=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac3{x^2}-\dfrac1x\right)=0$ 2 p

III.1.c5 p

Arătați că $4f(x)-1\ge\ln16$ , pentru orice $x\in(0,+\infty)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f'(x)=0\Rightarrow x=2$ ; pentru orice $x\in(0,2]$ , $f'(x)\le0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $(0,2]$ și, pentru orice $x\in[2,+\infty)$ , $f'(x)\ge0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[2,+\infty)$ 3 p
$f(x)\ge f(2)$ , pentru orice $x\in(0,+\infty)$ și, cum $f(2)=\dfrac14+\ln2$ , obținem $4f(x)-1\ge\ln16$ , pentru orice $x\in(0,+\infty)$ 2 p

III.2

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=3x+\dfrac1{\sqrt{x+3}}$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\displaystyle\int_2^4\left(f(x)-\frac1{\sqrt{x+3}}\right)dx=18$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\displaystyle\int_2^4\left(f(x)-\frac1{\sqrt{x+3}}\right)dx=\int_2^4 3x\,dx=\left.\frac{3x^2}{2}\right|_2^4=$ 3 p
$=\dfrac{48}{2}-\dfrac{12}{2}=18$ 2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\displaystyle\int_1^6\big(f(x)-3x\big)dx=2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\displaystyle\int_1^6\big(f(x)-3x\big)dx=\int_1^6\frac1{\sqrt{x+3}}\,dx=2\int_1^6\frac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}\,dx=\left.2\sqrt{x+3}\right|_1^6=$ 3 p
$=6-4=2$ 2 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle\int_{-2}^1\frac1{x+3}\left(f(x)-\frac1{\sqrt{x+3}}\right)dx=9(a-2\ln2)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=1$

Criterii (după barem)

$\displaystyle\int_{-2}^1\frac1{x+3}\left(f(x)-\frac1{\sqrt{x+3}}\right)dx=\int_{-2}^1\left(3-\frac9{x+3}\right)dx=\left.3x\right|_{-2}^1-\left.9\ln(x+3)\right|_{-2}^1=9(1-\ln4)$ 3 p
$9(1-2\ln2)=9(a-2\ln2)$ , de unde obținem $a=1$ 2 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M2.

Bacalaureat 2024 la matematică M2: sesiunea specială

Subiectul I 30 p

I.15 p

Criterii (după barem)

I.25 p

Criterii (după barem)

I.35 p

Criterii (după barem)

I.45 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.65 p

Criterii (după barem)

Subiectul al II-lea 30 p

II.1.a5 p

Criterii (după barem)

II.1.b5 p

Criterii (după barem)

II.1.c5 p

Criterii (după barem)

II.2.a5 p

Criterii (după barem)

II.2.b5 p

Criterii (după barem)

II.2.c5 p

Criterii (după barem)

Subiectul al III-lea 30 p

III.1.a5 p

Criterii (după barem)

III.1.b5 p

Criterii (după barem)

III.1.c5 p

Criterii (după barem)

III.2.a5 p

Criterii (după barem)

III.2.b5 p

Criterii (după barem)

III.2.c5 p

Criterii (după barem)

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?