Bacalaureat 2025 la mate M2: iunie

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați termenul a3 a_3 al progresiei aritmetice cu a1=4 a_1=4, a2=15 a_2=15.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 2626

Barem oficial

  1. Calcularea rației 11.3 p
  2. Calcularea termenului a3=26 a_3=26.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=3x−2 f(x)=3x-2, determinați a∈R a\in\mathbb R astfel încât f(a)+f(2)=2a f(a)+f(2)=2a .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−2 a=-2

Barem oficial

  1. Calcularea f(2)=4 f(2)=4 și f(a)=3a−2 f(a)=3a-2.2 p
  2. Rezolvarea ecuației și a=−2 a=-2.3 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația log⁡2(x2−3x+2)=log⁡2(x+2)\log_2(x^2-3x+2)=\log_2(x+2).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{0,4} x\in\{0,4\}

Barem oficial

  1. Egalarea argumentelor și ecuația x2−4x=0 x^2-4x=0.2 p
  2. Soluțiile 0 și 4, care convin.3 p

I.45 p

Câte numere naturale pare de două cifre distincte se formează cu A={1,2,3,5,7,8} A=\{1,2,3,5,7,8\}?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1010

Barem oficial

  1. Cele 2 opțiuni pentru cifra unităților.2 p
  2. Cele 5 opțiuni pentru cifra zecilor și produsul 10.3 p

I.55 p

Fie A(0,5) A(0,5), B(8,4) B(8,4) și C C mijlocul lui OB OB . Arătați că AO=AC AO=AC .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Mijlocul C(4,2) C(4,2).2 p
  2. Calcularea celor două distanțe egale cu 5.3 p

I.65 p

Triunghiul ABC ABC este dreptunghic în A A , cu AB=4 AB=4 și cos⁡B=2/3\cos B=2/3. Arătați că BC=6 BC=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Folosirea raportului cosinusului AB/BC=2/3 AB/BC=2/3.3 p
  2. Calcularea lui BC=6 BC=6.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie I2=(1001) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A=(−28−13) A=\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A=2\det A=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Formula determinantului de ordin 2.3 p
  2. Calcularea rezultatului 2.2 p

II.1.b5 p

Arătați că B=12(I2−A) B=\frac12(I_2-A) este inversa matricei A A .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea lui I2−A I_2-A și a matricei B B .3 p
  2. Verificarea produselor AB=BA=I2 AB=BA=I_2 și concluzia.2 p

II.1.c5 p

Determinați X∈M2(R) X\in\mathcal M_2(\mathbb R) pentru care (A−I2)X=2A(A-I_2)X=2A .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(4−81−1) X=\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}

Barem oficial

  1. Folosirea lui A−I2=−2A−1 A-I_2=-2A^{-1} și exprimarea lui X=−A2 X=-A^2.3 p
  2. Calcularea matricei finale.2 p

II.2

Pe M=[0,+∞) M=[0,+\infty) se definește x∗y=x+y−xy x*y=x+y-\sqrt{xy}.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗4=31*4=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea în legea de compoziție.3 p
  2. Calcularea rezultatului 3.2 p

II.2.b5 p

Determinați x∈M x\in M pentru care x∗(9x)=x2 x*(9x)=x^2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{0,7} x\in\{0,7\}

Barem oficial

  1. Simplificarea lui x∗(9x) x*(9x) la 7x7x pe domeniul dat.2 p
  2. Rezolvarea ecuației și soluțiile 0 și 7.3 p

II.2.c5 p

Determinați x∈R x\in\mathbb R pentru care 2x∗2x+2=6x2^x*2^{x+2}=6^x .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1 x=1

Barem oficial

  1. Simplificarea membrului stâng la 3⋅2x3\cdot2^x .3 p
  2. Ecuația 3x=33^x=3 și soluția x=1 x=1.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Fie f:(0,+∞)→R f:(0,+\infty)\to\mathbb R , f(x)=2xx2+x+2 f(x)=\frac{2\sqrt x}{x^2+x+2}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=−3x2−x+2(x2+x+2)2x f\prime(x)=\frac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt x}, x>0 x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Aplicarea regulii câtului și derivarea radicalului.3 p
  2. Simplificarea la formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty a graficului lui f f .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=0 y=0

Barem oficial

  1. Calcularea limitei la +∞+\infty , egală cu 0.3 p
  2. Ecuația asimptotei y=0 y=0.2 p

III.1.c5 p

Determinați a>0 a>0 pentru care tangenta în (a,f(a))(a,f(a)) este paralelă cu Ox Ox .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=23 a=\frac23

Barem oficial

  1. Condiția de paralelism f′(a)=0 f\prime(a)=0, cu a>0 a>0.3 p
  2. Rădăcinile și alegerea valorii admise 2/32/3.2 p

III.2

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=x3+3x+3 f(x)=x^3+3x+3.

III.2.a5 p

Arătați că ∫02(f(x)−3x−3) dx=4\int_0^2(f(x)-3x-3)\,dx=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea integrandului și o primitivă corectă.3 p
  2. Calculul la capete, rezultat 4.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫011(f(x)−x3)2 dx=118\int_0^1\frac1{(f(x)-x^3)^2}\,dx=\frac1{18}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea integrandului și primitiva corectă.3 p
  2. Calculul la capete, rezultat 1/181/18.2 p

III.2.c5 p

Determinați m∈R m\in\mathbb R pentru care ∫1ef(x)−3x2ln⁡x dx=e2+m4\int_1^e\frac{f(x)-3}{x^2}\ln x\,dx=\frac{e^2+m}4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=7 m=7

Barem oficial

  1. Integrarea și obținerea valorii (e2+7)/4(e^2+7)/4.3 p
  2. Egalarea cu (e2+m)/4(e^2+m)/4 și m=7 m=7.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.