Bacalaureat 2025 la matematică M2: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial M2, sesiunea a doua (august) 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați termenul a2a_2 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\ge1}, în care a1=5a_1=5 și a3=35a_3=35.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a2=20a_2=20

Criterii (după barem)

  1. a2=a1+a32=5+352=a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}=\dfrac{5+35}{2}=3 p
  2. =402=20=\dfrac{40}{2}=202 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=2x+3f(x)=2x+3. Determinați numărul real mm pentru care f(m)=f(0)⋅f(1)f(m)=f(0)\cdot f(1).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=6m=6

Criterii (după barem)

  1. f(0)=3f(0)=3, f(1)=5f(1)=5, f(m)=2m+3f(m)=2m+3, pentru orice număr real mm3 p
  2. 2m+3=3⋅52m+3=3\cdot5, de unde obținem m=6m=62 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−43=3x−63\sqrt[3]{x^2-4}=\sqrt[3]{3x-6}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1 sau x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. x2−4=3x−6x^2-4=3x-6, de unde obținem x2−3x+2=0x^2-3x+2=03 p
  2. x=1x=1 sau x=2x=22 p

I.45 p

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 3n2<1003n^2<100.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=35p=\dfrac35

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 66 numere nn pentru care 3n2<1003n^2<100, deci sunt 66 cazuri favorabile, de unde obținem p=610=35p=\dfrac6{10}=\dfrac353 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,2)A(0,2), B(2,5)B(2,5) și CC, astfel încât BB este mijlocul segmentului ACAC. Determinați coordonatele punctului CC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: C(4,8)C(4,8)

Criterii (după barem)

  1. 2=0+xC22=\dfrac{0+x_C}{2} și 5=2+yC25=\dfrac{2+y_C}{2}3 p
  2. C(4,8)C(4,8)2 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=ACAB=AC și aria egală cu 1818. Arătați că BC=62BC=6\sqrt2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 18=AB⋅AC218=\dfrac{AB\cdot AC}{2}, deci AB=AC=6AB=AC=63 p
  2. BC2=72BC^2=72, de unde obținem BC=62BC=6\sqrt22 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(1−x3x−x1+4x)A(x)=\begin{pmatrix}1-x&3x\\-x&1+4x\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(2))=3\det\big(A(2)\big)=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(2)=(−16−29)⇒det⁡(A(1))=∣−16−29∣=(−1)⋅9−6⋅(−2)=A(2)=\begin{pmatrix}-1&6\\-2&9\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}-1&6\\-2&9\end{vmatrix}=(-1)\cdot9-6\cdot(-2)=3 p
  2. =−9+12=3=-9+12=32 p

II.1.b5 p

Arătați că xA(y)−A(xy)=(x−1)I2xA(y)-A(xy)=(x-1)I_2, pentru orice numere reale xx și yy.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. xA(y)−A(xy)=(x−xy3xy−xyx+4xy)−(1−xy3xy−xy1+4xy)=(x−100x−1)=xA(y)-A(xy)=\begin{pmatrix}x-xy&3xy\\-xy&x+4xy\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1-xy&3xy\\-xy&1+4xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-1&0\\0&x-1\end{pmatrix}=3 p
  2. =(x−1)(1001)=(x−1)I2=(x-1)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=(x-1)I_2, pentru orice numere reale xx și yy2 p

II.1.c5 p

Determinați numerele reale xx pentru care A(1)⋅A(x−1)=xA(x)A(1)\cdot A(x-1)=xA(x).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1 sau x=3x=3

Criterii (după barem)

  1. A(1)⋅A(x−1)=(03−15)(2−x3x−3−x+14x−3)=(3−3x12x−93−4x17x−12)A(1)\cdot A(x-1)=\begin{pmatrix}0&3\\-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-x&3x-3\\-x+1&4x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-3x&12x-9\\3-4x&17x-12\end{pmatrix}, pentru orice număr real xx3 p
  2. (3−3x12x−93−4x17x−12)=(x−x23x2−x24x2+x)\begin{pmatrix}3-3x&12x-9\\3-4x&17x-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-x^2&3x^2\\-x^2&4x^2+x\end{pmatrix}, de unde obținem x=1x=1 sau x=3x=32 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=14(x+1)(y+1)−1x\circ y=\dfrac14(x+1)(y+1)-1.

II.2.a5 p

Arătați că 1∘5=21\circ5=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 1∘5=14(1+1)(5+1)−1=1\circ5=\dfrac14(1+1)(5+1)-1=3 p
  2. =3−1=2=3-1=22 p

II.2.b5 p

Arătați că e=3e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∘3=14(x+1)(3+1)−1=x+1−1=xx\circ3=\dfrac14(x+1)(3+1)-1=x+1-1=x, pentru orice număr real xx2 p
  2. 3∘x=14(3+1)(x+1)−1=x+1−1=x3\circ x=\dfrac14(3+1)(x+1)-1=x+1-1=x, pentru orice număr real xx, deci e=3e=3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”3 p

II.2.c5 p

Determinați perechile (m,n)(m,n) de numere naturale, cu m≤nm\le n, pentru care m∘n=3m\circ n=3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (0,15)(0,15), (1,7)(1,7) și (3,3)(3,3)

Criterii (după barem)

  1. 14(m+1)(n+1)−1=3⇔(m+1)(n+1)=16\dfrac14(m+1)(n+1)-1=3\Leftrightarrow(m+1)(n+1)=162 p
  2. Cum mm și nn sunt numere naturale, cu m≤nm\le n, obținem perechile (0,15)(0,15), (1,7)(1,7) și (3,3)(3,3)3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=x2−3x−1+ln⁡xf(x)=x^2-3x-1+\ln x.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(2x−1)(x−1)xf'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=2x−3+1x=f'(x)=2x-3+\dfrac1x=3 p
  2. =2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x=\dfrac{2x^2-3x+1}{x}=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→1f(x)+3xln⁡x=3\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→1f(x)+3xln⁡x=lim⁡x→1x2−1+ln⁡xln⁡x=lim⁡x→1(x2−1+ln⁡x)′(ln⁡x)′=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1+\ln x}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{\left(x^2-1+\ln x\right)'}{(\ln x)'}=3 p
  2. =lim⁡x→12x+1x1x=3\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{2x+\frac1x}{\frac1x}=32 p

III.1.c5 p

Demonstrați că f(x)+f(y)≤−214f(x)+f(y)\le-\dfrac{21}{4}, pentru orice x∈(0,1]x\in(0,1] și orice y∈[1,2]y\in[1,2].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=12f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac12 sau x=1x=1; pentru orice x∈(0,12]x\in\left(0,\dfrac12\right], f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe (0,12]\left(0,\dfrac12\right], pentru orice x∈[12,1]x\in\left[\dfrac12,1\right], f′(x)≤0f'(x)\le0, deci ff este descrescătoare pe [12,1]\left[\dfrac12,1\right] și, pentru orice x∈[1,2]x\in[1,2], f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe [1,2][1,2]3 p
  2. Pentru orice x∈(0,1]x\in(0,1] și orice y∈[1,2]y\in[1,2], rezultă f(x)≤f(12)f(x)\le f\left(\dfrac12\right) și f(y)≤f(2)f(y)\le f(2) și, cum f(12)=−94−ln⁡2f\left(\dfrac12\right)=-\dfrac94-\ln2 și f(2)=−3+ln⁡2f(2)=-3+\ln2, obținem f(x)+f(y)≤−214f(x)+f(y)\le-\dfrac{21}{4}2 p

III.2

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=x−1xf(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫24f(x)x dx=4\displaystyle\int_2^4f(x)\sqrt x\,dx=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫24f(x)x dx=∫24(x−1) dx=x22∣24−x∣24=\displaystyle\int_2^4f(x)\sqrt x\,dx=\int_2^4(x-1)\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_2^4-\left.x\right|_2^4=3 p
  2. =6−2=4=6-2=42 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫14f(x) dx=83\displaystyle\int_1^4f(x)\,dx=\frac83.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫14f(x) dx=∫14(x−1x)dx=2xx3∣14−2x∣14=\displaystyle\int_1^4f(x)\,dx=\int_1^4\left(\sqrt x-\frac1{\sqrt x}\right)dx=\left.\frac{2x\sqrt x}{3}\right|_1^4-\left.2\sqrt x\right|_1^4=3 p
  2. =143−2=83=\dfrac{14}{3}-2=\dfrac832 p

III.2.c5 p

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[2,3]→Rg:[2,3]\to\mathbb R, g(x)=2f(x)g(x)=\dfrac{\sqrt2}{f(x)}, în jurul axei OxOx este egal cu πln⁡(4e)\pi\ln(4e).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. g(x)=2xx−1g(x)=\dfrac{\sqrt{2x}}{x-1}, x∈[2,3]x\in[2,3], deci V=π∫23(g(x))2 dx=2π∫23x(x−1)2 dx=V=\pi\displaystyle\int_2^3\big(g(x)\big)^2\,dx=2\pi\int_2^3\frac{x}{(x-1)^2}\,dx=2 p
  2. =2π∫23(1x−1+1(x−1)2)dx=2π(ln⁡(x−1)∣23−1x−1∣23)=πln⁡(4e)=2\pi\displaystyle\int_2^3\left(\frac1{x-1}+\frac1{(x-1)^2}\right)dx=2\pi\left(\left.\ln(x-1)\right|_2^3-\left.\frac1{x-1}\right|_2^3\right)=\pi\ln(4e)3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M2.