Bacalaureat 2025 la matematică M2: sesiunea specială

Subiectul oficial M2, sesiunea specială 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 2⋅(1,1+0,3)−1,8=12\cdot(1{,}1+0{,}3)-1{,}8=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 2⋅(1,1+0,3)−1,8=2⋅1,4−1,8=2\cdot(1{,}1+0{,}3)-1{,}8=2\cdot1{,}4-1{,}8=2 p
  2. =2,8−1,8=1=2{,}8-1{,}8=13 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=2x+4f(x)=2x+4. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=a⋅f(0)f(a)=a\cdot f(0).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. f(0)=4f(0)=4, f(a)=2a+4f(a)=2a+4, pentru orice număr real aa2 p
  2. 2a+4=4a2a+4=4a, de unde obținem a=2a=23 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2−x=x2+x−1\sqrt{2-x}=\sqrt{x^2+x-1}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−3x=-3 sau x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. 2−x=x2+x−12-x=x^2+x-1, de unde obținem x2+2x−3=0x^2+2x-3=02 p
  2. x=−3x=-3 sau x=1x=1, care convin3 p

I.45 p

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea n3>10n^3>10.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=710p=\dfrac{7}{10}

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 77 numere nn care verifică inegalitatea n3>10n^3>10, deci sunt 77 cazuri favorabile, de unde obținem p=710p=\dfrac{7}{10}3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,4)A(1,4), B(2,0)B(2,0) și C(8,2)C(8,2). Determinați distanța dintre punctul AA și mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: AM=5AM=5

Criterii (după barem)

  1. M(5,1)M(5,1), unde punctul MM este mijlocul segmentului BCBC3 p
  2. AM=5AM=52 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=10BC=10 și sin⁡B=25\sin B=\dfrac25. Arătați că AC=4AC=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. sin⁡B=ACBC\sin B=\dfrac{AC}{BC}, deci 25=AC10\dfrac25=\dfrac{AC}{10}3 p
  2. AC=2⋅105=4AC=\dfrac{2\cdot10}{5}=42 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(2+2xx−x2−2x)A(x)=\begin{pmatrix}2+2x&x\\-x&2-2x\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(1))=1\det\big(A(1)\big)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(1)=(41−10)⇒det⁡(A(1))=∣41−10∣=4⋅0−1⋅(−1)=A(1)=\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}4&1\\-1&0\end{vmatrix}=4\cdot0-1\cdot(-1)=3 p
  2. =0+1=1=0+1=12 p

II.1.b5 p

Arătați că A(2)⋅A(1)+3A(−2)=16I2A(2)\cdot A(1)+3A(-2)=16I_2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(2)=(62−2−2)A(2)=\begin{pmatrix}6&2\\-2&-2\end{pmatrix}, A(2)⋅A(1)=(226−6−2)A(2)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}22&6\\-6&-2\end{pmatrix}3 p
  2. Cum A(−2)=(−2−226)A(-2)=\begin{pmatrix}-2&-2\\2&6\end{pmatrix}, obținem A(2)⋅A(1)+3A(−2)=(160016)=16I2A(2)\cdot A(1)+3A(-2)=\begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix}=16I_22 p

II.1.c5 p

Determinați numărul întreg nenul mm pentru care matricea B(m)=1mA(−m)B(m)=\dfrac1mA(-m) este inversa matricei A(m)A(m).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=1m=1

Criterii (după barem)

  1. B(m)B(m) este inversa matricei A(m)⇔A(m)⋅B(m)=B(m)⋅A(m)=I2⇔4−3m2mI2=I2A(m)\Leftrightarrow A(m)\cdot B(m)=B(m)\cdot A(m)=I_2\Leftrightarrow\dfrac{4-3m^2}{m}I_2=I_23 p
  2. 4−3m2m=1\dfrac{4-3m^2}{m}=1, de unde obținem m=−43m=-\dfrac43, care nu convine, sau m=1m=1, care convine2 p

II.2

Se consideră polinomul f=X3−3X2−3X+af=X^3-3X^2-3X+a, unde aa este număr real.

II.2.a5 p

Pentru a=1a=1, arătați că f(−1)=0f(-1)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f=X3−3X2−3X+1⇒f(−1)=(−1)3−3⋅(−1)2−3⋅(−1)+1=f=X^3-3X^2-3X+1\Rightarrow f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)+1=3 p
  2. =−1−3+3+1=0=-1-3+3+1=02 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real aa pentru care 3x1+3x2+3x3−x1x2x3=33x_1+3x_2+3x_3-x_1x_2x_3=3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−6a=-6

Criterii (după barem)

  1. x1+x2+x3=3x_1+x_2+x_3=3, x1x2x3=−a⇒3x1+3x2+3x3−x1x2x3=9+ax_1x_2x_3=-a\Rightarrow3x_1+3x_2+3x_3-x_1x_2x_3=9+a, pentru orice număr real aa3 p
  2. 9+a=39+a=3, de unde obținem a=−6a=-62 p

II.2.c5 p

Pentru a=9a=9, determinați rădăcinile polinomului ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x1=3x_1=3, x2=−3x_2=-\sqrt3 și x3=3x_3=\sqrt3

Criterii (după barem)

  1. f=X3−3X2−3X+9=(X−3)(X2−3)f=X^3-3X^2-3X+9=(X-3)\left(X^2-3\right)2 p
  2. Rădăcinile polinomului sunt x1=3x_1=3, x2=−3x_2=-\sqrt3 și x3=3x_3=\sqrt33 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x2−8exf(x)=\dfrac{x^2-8}{e^x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(x+2)(4−x)exf'(x)=\dfrac{(x+2)(4-x)}{e^x}, x∈Rx\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=2xex−(x2−8)ex(ex)2=f'(x)=\dfrac{2xe^x-\left(x^2-8\right)e^x}{\left(e^x\right)^2}=3 p
  2. =−x2+2x+8ex=(x+2)(4−x)ex=\dfrac{-x^2+2x+8}{e^x}=\dfrac{(x+2)(4-x)}{e^x}, x∈Rx\in\mathbb R2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x=0, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=8x−8y=8x-8

Criterii (după barem)

  1. f(0)=−8f(0)=-8, f′(0)=8f'(0)=82 p
  2. Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y-f(0)=f'(0)(x-0), adică y=8x−8y=8x-83 p

III.1.c5 p

Demonstrați că −4e2≤f(x)≤e3-4e^2\le f(x)\le e^3, pentru orice x∈[−3,4]x\in[-3,4].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=−2f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2 sau x=4x=4; pentru orice x∈[−3,−2]x\in[-3,-2], f′(x)≤0f'(x)\le0, deci ff este descrescătoare pe [−3,−2][-3,-2] și, pentru orice x∈[−2,4]x\in[-2,4], f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe [−2,4][-2,4]3 p
  2. f(−3)=e3f(-3)=e^3, f(−2)=−4e2f(-2)=-4e^2 și f(4)=8e4<e3f(4)=\dfrac{8}{e^4}<e^3, de unde obținem −4e2≤f(x)≤e3-4e^2\le f(x)\le e^3, pentru orice x∈[−3,4]x\in[-3,4]2 p

III.2

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=6x+2ln⁡xxf(x)=6x+\dfrac{2\ln x}{x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫23(f(x)−2ln⁡xx)dx=15\displaystyle\int_2^3\left(f(x)-\frac{2\ln x}{x}\right)dx=15.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫23(f(x)−2ln⁡xx)dx=∫236x dx=3x2∣23=\displaystyle\int_2^3\left(f(x)-\frac{2\ln x}{x}\right)dx=\int_2^36x\,dx=\left.3x^2\right|_2^3=3 p
  2. =27−12=15=27-12=152 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1e(f(x)−6x)dx=1\displaystyle\int_1^e\left(f(x)-6x\right)dx=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫1e(f(x)−6x)dx=∫1e2ln⁡xx dx=∫1e2ln⁡x(ln⁡x)′ dx=ln⁡2x∣1e=\displaystyle\int_1^e\left(f(x)-6x\right)dx=\int_1^e\frac{2\ln x}{x}\,dx=\int_1^e2\ln x(\ln x)'\,dx=\left.\ln^2x\right|_1^e=3 p
  2. =ln⁡2e−ln⁡21=1=\ln^2e-\ln^21=12 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real aa pentru care ∫1e2(f(x)x+f′(x)ln⁡x)dx=af(e2)\displaystyle\int_1^{e^2}\left(\frac{f(x)}{x}+f'(x)\ln x\right)dx=af\left(e^2\right).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. ∫1e2(f(x)x+f′(x)ln⁡x)dx=∫1e2(f(x)ln⁡x)′dx=f(x)ln⁡x∣1e2=f(e2)ln⁡e2=2f(e2)\displaystyle\int_1^{e^2}\left(\frac{f(x)}{x}+f'(x)\ln x\right)dx=\int_1^{e^2}\left(f(x)\ln x\right)'dx=\left.f(x)\ln x\right|_1^{e^2}=f\left(e^2\right)\ln e^2=2f\left(e^2\right)3 p
  2. 2f(e2)=af(e2)2f\left(e^2\right)=af\left(e^2\right) și, cum f(e2)≠0f\left(e^2\right)\ne0, obținem a=2a=22 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M2.