Bacalaureat 2026 la mate M2: iunie

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că (4,9−3,4):3+2,5=3(4,9-3,4):3+2,5=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea diferenței și împărțirii cu 3.2 p
  2. Adunarea finală, rezultat 3.3 p

I.25 p

Fie f(x)=2x−21 f(x)=2x-21. Determinați a∈R a\in\mathbb R pentru care A(−3a,a) A(-3a,a) aparține graficului lui f f .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−3 a=-3

Barem oficial

  1. Folosirea condiției de apartenență f(−3a)=a f(-3a)=a .2 p
  2. Rezolvarea ecuației și obținerea lui a=−3 a=-3.3 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația log⁡7(1+2x−x2)=log⁡7(3−x)\log_7(1+2x-x^2)=\log_7(3-x).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{1,2} x\in\{1,2\}

Barem oficial

  1. Egalarea argumentelor și obținerea ecuației x2−3x+2=0 x^2-3x+2=0.2 p
  2. Obținerea soluțiilor 1 și 2 care convin.3 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales din numerele naturale de două cifre să fie multiplu impar de 1111.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 118\frac1{18}

Barem oficial

  1. Identificarea celor 90 de cazuri posibile.2 p
  2. Cele 5 cazuri favorabile și probabilitatea 1/181/18.3 p

I.55 p

În reperul xOy xOy , A(0,5) A(0,5), B(2,0) B(2,0) și C(4,2) C(4,2). Arătați că ADC ADC este isoscel, unde D D este mijlocul lui BC BC .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Mijlocul D(3,1) D(3,1) și lungimea AD=5 AD=5.3 p
  2. Lungimea AC=5 AC=5 și concluzia isoscel.2 p

I.65 p

Triunghiul ABC ABC este dreptunghic în A A , cu tg⁡B=13\operatorname{tg}B=\frac13 și aria 2424. Arătați că AC=4 AC=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Folosirea tangentei și relația AB=3AC AB=3AC .2 p
  2. Folosirea ariei și obținerea lui AC=4 AC=4.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră I2=(1001) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(2a+2−aa−31) A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}, unde a∈R a\in\mathbb R .

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(1)=2\det A(1)=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea și formula determinantului de ordin 2.3 p
  2. Calcularea rezultatului 2.2 p

II.1.b5 p

Determinați x∈R x\in\mathbb R pentru care A(0)(6I2−A(2)−A(−2))=xI2 A(0)(6I_2-A(2)-A(-2))=xI_2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=4 x=4

Barem oficial

  1. Calcularea matricelor și a produsului egal cu 4I24I_2.3 p
  2. Identificarea lui x=4 x=4.2 p

II.1.c5 p

Determinați X∈M2(R) X\in\mathcal M_2(\mathbb R) pentru care A(1)XA(1)=4I2 A(1)XA(1)=4I_2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(351018) X=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}

Barem oficial

  1. Inversabilitatea și exprimarea X=4A(1)−2 X=4A(1)^{-2}.2 p
  2. Inversa și calcularea matricei X X .3 p

II.2

Se consideră polinomul f=X3−aX+2+a f=X^3-aX+2+a , unde a∈R a\in\mathbb R .

II.2.a5 p

Arătați că f(1)=3 f(1)=3 pentru orice a∈R a\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea lui 1 în polinom.3 p
  2. Reducerea termenilor și rezultatul 3 independent de a a .2 p

II.2.b5 p

Determinați a∈R a\in\mathbb R pentru care f f este divizibil cu g=X+2 g=X+2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2 a=2

Barem oficial

  1. Calcularea lui f(−2)=3a−6 f(-2)=3a-6.3 p
  2. Impunerea valorii 0 și obținerea lui a=2 a=2.2 p

II.2.c5 p

Determinați a∈R a\in\mathbb R pentru care x13+x23+x33=x1x2+x1x3+x2x3 x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3, unde x1,x2,x3 x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile lui f f .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−3 a=-3

Barem oficial

  1. Relațiile lui Viète pentru sumă și suma produselor două câte două.2 p
  2. Suma cuburilor =−3a−6=-3a-6 și obținerea lui a=−3 a=-3.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=ex(2x2−3x) f(x)=e^x(2x^2-3x).

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=ex(2x+3)(x−1) f\prime(x)=e^x(2x+3)(x-1), x∈R x\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea produsului.3 p
  2. Factorizarea derivatei la expresia cerută.2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→0f(x)−xf(x)+x=2\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea limitei 0/0, de exemplu prin regula lui l'Hôpital.2 p
  2. Calcularea limitei 2.3 p

III.1.c5 p

Determinați a∈R a\in\mathbb R pentru care tangenta la grafic în punctul de abscisă a a are panta 0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{−32,1} a\in\{-\frac32,1\}

Barem oficial

  1. Impunerea condiției f′(a)=0 f\prime(a)=0.3 p
  2. Rezolvarea și cele două abscise −3/2-3/2 și 1.2 p

III.2

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R f:(-1,+\infty)\to\mathbb R , f(x)=(2x2+4x)x+1 f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫03f(x)x+1 dx=36\int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=36.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea integrandului și calcularea primitivei.3 p
  2. Calculul la capete, rezultat 36.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫38x2+2xf(x) dx=1\int_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea integrandului și primitiva x+1\sqrt{x+1}.3 p
  2. Calculul la capete, rezultat 1.2 p

III.2.c5 p

Fie g:(0,+∞)→R g:(0,+\infty)\to\mathbb R , g(x)=4x+1f(x) g(x)=\frac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}. Determinați aria delimitată de graficul lui g g , axa Ox Ox și dreptele x=1 x=1, x=4 x=4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: ln⁡2\ln2

Barem oficial

  1. Simplificarea lui g g , pozitivitatea și scrierea ariei ca integrală.3 p
  2. Calculul integralului prin fracții simple, rezultat ln⁡2\ln2.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.