Bacalaureat 2026 la matematică M2: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial M2, sesiunea a doua (august) 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Se consideră numerele complexe z1=2−3iz_1=2-3i și z2=1−2iz_2=1-2i. Arătați că iz1+z2=4iz_1+z_2=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. iz1+z2=i(2−3i)+1−2i=2i−3i2+1−2i=iz_1+z_2=i(2-3i)+1-2i=2i-3i^2+1-2i=2 p
  2. =3+1=4=3+1=43 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x+3f(x)=x+3. Determinați numărul real aa pentru care f(a+2)=a+f(a)f(a+2)=a+f(a).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. f(a+2)=a+5f(a+2)=a+5, f(a)=a+3f(a)=a+3, pentru orice număr real aa2 p
  2. a+5=a+a+3a+5=a+a+3, de unde obținem a=2a=23 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x=x2−x+2\sqrt{2x}=\sqrt{x^2-x+2}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1 sau x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. 2x=x2−x+22x=x^2-x+2, de unde obținem x2−3x+2=0x^2-3x+2=02 p
  2. x=1x=1 sau x=2x=2, care convin3 p

I.45 p

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 3n2>1003n^2>100.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=25p=\dfrac25

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 44 numere nn care verifică inegalitatea 3n2>1003n^2>100, deci sunt 44 cazuri favorabile, de unde obținem p=410=25p=\dfrac4{10}=\dfrac253 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(6,0)A(6,0), B(8,2)B(8,2) și C(1,9)C(1,9). Determinați distanța dintre punctul CC și mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: CM=10CM=10

Criterii (după barem)

  1. Mijlocul segmentului ABAB este M(7,1)M(7,1)3 p
  2. CM=62+82=100=10CM=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=102 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, cu AC=9AC=9 și B=π3B=\dfrac{\pi}{3}. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABCABC este egală cu 333\sqrt3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 2R=ACsin⁡B=9sin⁡B2R=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{9}{\sin B}, unde RR este raza cercului circumscris triunghiului ABCABC3 p
  2. Cum sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}, obținem R=33R=3\sqrt32 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea A(x,y)=(x+yxy4x+y)A(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&xy\\4&x+y\end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(1,2))=1\det\big(A(1,2)\big)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(1,2)=(3243)⇒det⁡(A(1,2))=∣3243∣=3⋅3−2⋅4=A(1,2)=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1,2)\big)=\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix}=3\cdot3-2\cdot4=3 p
  2. =9−8=1=9-8=12 p

II.1.b5 p

Arătați că matricea A(x,y)A(x,y) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte xx și yy.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. det⁡(A(x,y))=∣x+yxy4x+y∣=(x+y)2−4xy=(x−y)2\det\big(A(x,y)\big)=\begin{vmatrix}x+y&xy\\4&x+y\end{vmatrix}=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2, pentru orice numere reale xx și yy3 p
  2. Cum x≠yx\ne y, obținem det⁡(A(x,y))≠0\det\big(A(x,y)\big)\ne0, deci matricea A(x,y)A(x,y) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte xx și yy2 p

II.1.c5 p

Determinați numerele reale xx și yy pentru care A(x,2)⋅A(x,2)=4A(y,0)A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=0x=0 și y=1y=1

Criterii (după barem)

  1. A(x,2)=(x+22x4x+2)A(x,2)=\begin{pmatrix}x+2&2x\\4&x+2\end{pmatrix}, A(x,2)⋅A(x,2)=(x2+12x+44x2+8x8x+16x2+12x+4)A(x,2)\cdot A(x,2)=\begin{pmatrix}x^2+12x+4&4x^2+8x\\8x+16&x^2+12x+4\end{pmatrix}, 4A(y,0)=(4y0164y)4A(y,0)=\begin{pmatrix}4y&0\\16&4y\end{pmatrix}, pentru orice numere reale xx și yy3 p
  2. x=0x=0 și y=1y=12 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=5−x+y2+xyx*y=5-\dfrac{x+y}{2}+xy.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗3=61*3=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 1∗3=5−1+32+1⋅3=1*3=5-\dfrac{1+3}{2}+1\cdot3=3 p
  2. =5−2+3=6=5-2+3=62 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real xx pentru care x∗5=2xx*5=2x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1x=-1

Criterii (după barem)

  1. x∗5=9x+52x*5=\dfrac{9x+5}{2}, pentru orice număr real xx3 p
  2. 9x+52=2x\dfrac{9x+5}{2}=2x, de unde obținem x=−1x=-12 p

II.2.c5 p

Determinați perechile (m,n)(m,n) de numere naturale pentru care (m−n)∗(m+n)=m2(m-n)*(m+n)=m^2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (1,2)(1,2), (4,1)(4,1) și (5,0)(5,0)

Criterii (după barem)

  1. (m−n)∗(m+n)=5−m+m2−n2(m-n)*(m+n)=5-m+m^2-n^2, deci m+n2=5m+n^2=52 p
  2. Cum mm și nn sunt numere naturale, obținem perechile (1,2)(1,2), (4,1)(4,1) și (5,0)(5,0)3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x2+8x−2x2+2f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=8(x+1)(2−x)(x2+2)2f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2}, x∈Rx\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=(2x+8)(x2+2)−(x2+8x−2)⋅2x(x2+2)2=f'(x)=\dfrac{(2x+8)\left(x^2+2\right)-\left(x^2+8x-2\right)\cdot2x}{\left(x^2+2\right)^2}=3 p
  2. =−8x2+8x+16(x2+2)2=8(x+1)(2−x)(x2+2)2=\dfrac{-8x^2+8x+16}{\left(x^2+2\right)^2}=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2}, x∈Rx\in\mathbb R2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=1y=1

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→+∞x2+8x−2x2+2=lim⁡x→+∞x2(1+8x−2x2)x2(1+2x2)=lim⁡x→+∞1+8x−2x21+2x2=1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1+\frac8x-\frac2{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac2{x^2}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac8x-\frac2{x^2}}{1+\frac2{x^2}}=13 p
  2. Dreapta de ecuație y=1y=1 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că −2≤f(x)−f(y)≤2-2\le f(x)-f(y)\le2, pentru orice x,y∈[−4,0]x,y\in[-4,0].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=−1f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1 sau x=2x=2; pentru orice x∈[−4,−1]x\in[-4,-1], f′(x)≤0f'(x)\le0, deci ff este descrescătoare pe [−4,−1][-4,-1] și, pentru orice x∈[−1,0]x\in[-1,0], f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe [−1,0][-1,0]2 p
  2. x,y∈[−4,0]x,y\in[-4,0] și, cum f(−4)=−1f(-4)=-1, f(−1)=−3f(-1)=-3, f(0)=−1f(0)=-1, obținem −3≤f(x)≤−1-3\le f(x)\le-1 și −3≤f(y)≤−1-3\le f(y)\le-1, deci −2≤f(x)−f(y)≤2-2\le f(x)-f(y)\le2, pentru orice x,y∈[−4,0]x,y\in[-4,0]3 p

III.2

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=5x2−3+ln⁡xf(x)=5x^2-3+\ln x.

III.2.a5 p

Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡x)dx=263\displaystyle\int_1^2\big(f(x)-\ln x\big)dx=\frac{26}{3}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫12(f(x)−ln⁡x)dx=∫12(5x2−3)dx=5x33∣12−3x∣12=\displaystyle\int_1^2\big(f(x)-\ln x\big)dx=\int_1^2\left(5x^2-3\right)dx=\left.\frac{5x^3}{3}\right|_1^2-\left.3x\right|_1^2=3 p
  2. =353−3=263=\dfrac{35}{3}-3=\dfrac{26}{3}2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1e1x⋅(f(x)−5x2+3)dx=12\displaystyle\int_1^e\frac1x\cdot\left(f(x)-5x^2+3\right)dx=\frac12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫1e1x⋅(f(x)−5x2+3)dx=∫1eln⁡xx dx=∫1eln⁡x⋅(ln⁡x)′ dx=ln⁡2x2∣1e=\displaystyle\int_1^e\frac1x\cdot\left(f(x)-5x^2+3\right)dx=\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx=\int_1^e\ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\left.\frac{\ln^2x}{2}\right|_1^e=3 p
  2. =ln⁡2e2−ln⁡212=12=\dfrac{\ln^2e}{2}-\dfrac{\ln^21}{2}=\dfrac122 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real mm pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg:(0,+\infty)\to\mathbb R, g(x)=f(x)+3xg(x)=\dfrac{f(x)+3}{\sqrt x}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x=1 și x=4x=4 este egală cu 58+mln⁡258+m\ln2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=8m=8

Criterii (după barem)

  1. g(x)=5x2+ln⁡xxg(x)=\dfrac{5x^2+\ln x}{\sqrt x}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty), deci A=∫14∣g(x)∣ dx=∫14(5xx+(2x)′⋅ln⁡x)dx=\mathcal A=\displaystyle\int_1^4|g(x)|\,dx=\int_1^4\left(5x\sqrt x+\left(2\sqrt x\right)'\cdot\ln x\right)dx=2 p
  2. =2x2x∣14+2xln⁡x∣14−4x∣14=58+8ln⁡2=\left.2x^2\sqrt x\right|_1^4+\left.2\sqrt x\ln x\right|_1^4-\left.4\sqrt x\right|_1^4=58+8\ln2, deci 58+mln⁡2=58+8ln⁡258+m\ln2=58+8\ln2, de unde obținem m=8m=83 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M2.