Bacalaureat 2026 la matematică M2: sesiunea specială

Subiectul oficial M2, sesiunea specială 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 22(3+2)+3(1−22)=72\sqrt2\left(3+\sqrt2\right)+3\left(1-2\sqrt2\right)=7.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 22(3+2)+3(1−22)=62+22⋅2+3−62=2\sqrt2\left(3+\sqrt2\right)+3\left(1-2\sqrt2\right)=6\sqrt2+2\sqrt2\cdot\sqrt2+3-6\sqrt2=2 p
  2. =4+3=7=4+3=73 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=3x−10f(x)=3x-10. Determinați numărul real aa pentru care f(2a)=f(a)−3f(2a)=f(a)-3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1a=-1

Criterii (după barem)

  1. f(2a)=6a−10f(2a)=6a-10, f(a)=3a−10f(a)=3a-10, pentru orice număr real aa2 p
  2. 6a−10=3a−10−36a-10=3a-10-3, de unde obținem a=−1a=-13 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x2−6x+5=x3\sqrt{4x^2-6x+5}=x\sqrt3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1 sau x=5x=5

Criterii (după barem)

  1. 4x2−6x+5=3x24x^2-6x+5=3x^2, de unde obținem x2−6x+5=0x^2-6x+5=02 p
  2. x=1x=1 sau x=5x=5, care convin3 p

I.45 p

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu 33.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=115p=\dfrac1{15}

Criterii (după barem)

  1. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 66 numere care au suma cifrelor cel mult egală cu 33, deci sunt 66 cazuri favorabile, de unde obținem p=690=115p=\dfrac{6}{90}=\dfrac1{15}3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,3)A(0,3), B(1,5)B(1,5) și C(6,0)C(6,0). Arătați că triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. mAB=2m_{AB}=22 p
  2. mAC=−12m_{AC}=-\dfrac12 și, cum mAB⋅mAC=−1m_{AB}\cdot m_{AC}=-1, obținem că triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA3 p

I.65 p

Se consideră expresia E(x)=cos⁡x⋅sin⁡3x−sin⁡2xE(x)=\cos x\cdot\sin3x-\sin2x, unde xx este număr real. Arătați că E(π6)=0E\left(\dfrac\pi6\right)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. cos⁡π6=32\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡π2=1\sin\dfrac\pi2=1, sin⁡π3=32\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}3 p
  2. E(π6)=32⋅1−32=0E\left(\dfrac\pi6\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot1-\dfrac{\sqrt3}{2}=02 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(2x+104xx+1)A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(1))=6\det\big(A(1)\big)=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(1)=(3042)⇒det⁡(A(1))=∣3042∣=3⋅2−0⋅4=A(1)=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}3&0\\4&2\end{vmatrix}=3\cdot2-0\cdot4=3 p
  2. =6−0=6=6-0=62 p

II.1.b5 p

Determinați numărul real xx pentru care A(−2)⋅A(1)−4I2=A(x)A(-2)\cdot A(1)-4I_2=A(x).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−7x=-7

Criterii (după barem)

  1. A(−2)=(−30−8−1)A(-2)=\begin{pmatrix}-3&0\\-8&-1\end{pmatrix}, A(−2)⋅A(1)−4I2=(−90−28−2)−(4004)=A(-2)\cdot A(1)-4I_2=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=2 p
  2. =(−130−28−6)=(2⋅(−7)+104⋅(−7)−7+1)=A(−7)=\begin{pmatrix}-13&0\\-28&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot(-7)+1&0\\4\cdot(-7)&-7+1\end{pmatrix}=A(-7), deci A(x)=A(−7)A(x)=A(-7), de unde obținem x=−7x=-73 p

II.1.c5 p

Demonstrați că det⁡(A(x)+A(1x)−2I2)≥8\det\left(A(x)+A\left(\dfrac1x\right)-2I_2\right)\ge8, pentru orice număr real nenul xx.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(x)+A(1x)−2I2=(2x+2x04x+4xx+1x)A(x)+A\left(\dfrac1x\right)-2I_2=\begin{pmatrix}2x+\dfrac2x&0\\4x+\dfrac4x&x+\dfrac1x\end{pmatrix}, det⁡(A(x)+A(1x)−2I2)=(2x+2x)(x+1x)=\det\left(A(x)+A\left(\dfrac1x\right)-2I_2\right)=\left(2x+\dfrac2x\right)\left(x+\dfrac1x\right)=2 p
  2. =2(x2+1x2+2)=2((x−1x)2+4)≥8=2\left(x^2+\dfrac1{x^2}+2\right)=2\left(\left(x-\dfrac1x\right)^2+4\right)\ge8, pentru orice număr real nenul xx3 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy−x+2y+1x\circ y=x^2-xy-x+2y+1.

II.2.a5 p

Arătați că 1∘1=21\circ1=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 1∘1=12−1⋅1−1+2⋅1+1=1\circ1=1^2-1\cdot1-1+2\cdot1+1=3 p
  2. =1−1−1+2+1=2=1-1-1+2+1=22 p

II.2.b5 p

Determinați numerele reale xx pentru care x∘(2x)=1x\circ(2x)=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=0x=0 sau x=3x=3

Criterii (după barem)

  1. x∘(2x)=−x2+3x+1x\circ(2x)=-x^2+3x+1, pentru orice număr real xx2 p
  2. −x2+3x+1=1-x^2+3x+1=1, deci −x2+3x=0-x^2+3x=0, de unde obținem x=0x=0 sau x=3x=33 p

II.2.c5 p

Determinați perechile (m,n)(m,n) de numere naturale pentru care m∘n=mm\circ n=m.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (1,0)(1,0) și (3,4)(3,4)

Criterii (după barem)

  1. m∘n=m2−mn−m+2n+1m\circ n=m^2-mn-m+2n+1, deci m2−mn−2m+2n=−1m^2-mn-2m+2n=-12 p
  2. (m−2)(m−n)=−1(m-2)(m-n)=-1 și, cum mm și nn sunt numere naturale, obținem perechile (1,0)(1,0) și (3,4)(3,4)3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=(x−1)x+2xf(x)=(x-1)\sqrt x+\dfrac{2}{\sqrt x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=3x2−x−22xxf'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt x}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=x+(x−1)⋅12x+−2⋅12xx=f'(x)=\sqrt x+(x-1)\cdot\dfrac1{2\sqrt x}+\dfrac{-2\cdot\dfrac1{2\sqrt x}}{x}=3 p
  2. =2x2+x2−x−22xx=3x2−x−22xx=\dfrac{2x^2+x^2-x-2}{2x\sqrt x}=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt x}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→1x⋅f′(x)5x−5=12\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt x\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→1x⋅f′(x)5x−5=lim⁡x→13x2−x−22x(5x−5)=lim⁡x→1(3x+2)(x−1)10x(x−1)=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt x\cdot f'(x)}{5x-5}=\lim_{x\to1}\frac{3x^2-x-2}{2x(5x-5)}=\lim_{x\to1}\frac{(3x+2)(x-1)}{10x(x-1)}=3 p
  2. =lim⁡x→13x+210x=12\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{3x+2}{10x}=\frac122 p

III.1.c5 p

Determinați imaginea funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: [2,+∞)[2,+\infty)

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=1f'(x)=0\Leftrightarrow x=1; pentru orice x∈(0,1]x\in(0,1], f′(x)≤0f'(x)\le0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și, pentru orice x∈[1,+∞)x\in[1,+\infty), f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1,+\infty)2 p
  2. lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, f(1)=2f(1)=2 și ff este continuă, de unde obținem că imaginea funcției ff este [2,+∞)[2,+\infty)3 p

III.2

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=(x2+x)exf(x)=\left(x^2+x\right)e^x.

III.2.a5 p

Arătați că ∫01f(x)ex dx=56\displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\frac56.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫01f(x)ex dx=∫01(x2+x)dx=x33∣01+x22∣01=\displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^1\left(x^2+x\right)dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1+\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=3 p
  2. =13+12=56=\dfrac13+\dfrac12=\dfrac562 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫12f(x)x dx=e(2e−1)\displaystyle\int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=e(2e-1).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫12f(x)x dx=∫12(x+1)(ex)′dx=xex∣12=\displaystyle\int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^2(x+1)\left(e^x\right)'dx=\left.xe^x\right|_1^2=3 p
  2. =2e2−e=e(2e−1)=2e^2-e=e(2e-1)2 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real aa pentru care ∫24xf(x)f(x−1) dx=ae(5+ln⁡3)\displaystyle\int_2^4\frac{xf(x)}{f(x-1)}\,dx=ae(5+\ln3).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. ∫24xf(x)f(x−1) dx=e∫24x2+xx−1 dx=e∫24(x+2+2x−1)dx=e(x22+2x+2ln⁡(x−1))∣24=2e(5+ln⁡3)\displaystyle\int_2^4\frac{xf(x)}{f(x-1)}\,dx=e\int_2^4\frac{x^2+x}{x-1}\,dx=e\int_2^4\left(x+2+\frac2{x-1}\right)dx=e\left.\left(\frac{x^2}{2}+2x+2\ln(x-1)\right)\right|_2^4=2e(5+\ln3)3 p
  2. ae(5+ln⁡3)=2e(5+ln⁡3)ae(5+\ln3)=2e(5+\ln3), de unde obținem a=2a=22 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M2.