Acasă Bacalaureat Matematică M2 Pe teme Legi de compoziție și structuri algebrice Legi de compoziție și structuri algebrice: Matematică M2 la Bacalaureat
60 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = 1 6 ( x − 5 ) ( y − 5 ) + 5 x\circ y=\dfrac16(x-5)(y-5)+5 x ∘ y = 6 1 ( x − 5 ) ( y − 5 ) + 5 e = 11 e=11 e = 11
II.2.a 5 p Arătați că 7 ∘ 8 = 6 7\circ8=6 7 ∘ 8 = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în lege. 3 p Rezultatul 6. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numerele reale x pentru care x ∘ ( 6 x − 1 ) = 10 x\circ(6x-1)=10 x ∘ ( 6 x − 1 ) = 10
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { 0 , 6 } x\in\{0,6\} x ∈ { 0 , 6 }
Criterii (după barem) Reducerea operației la polinom. 3 p Rădăcinile 0 și 6. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numerele naturale n, n ≠ 5 n\ne5 n = 5 ∘ \circ ∘
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: n ∈ { 9 , 17 , 41 } n\in\{9,17,41\} n ∈ { 9 , 17 , 41 }
Criterii (după barem) Ecuația simetricului(n-5)(s-5)=36. 2 p Condițiile de naturalitate/paritate și n=9,17,41. 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = x 2 − x y − x + 2 y + 1 x\circ y=x^2-xy-x+2y+1 x ∘ y = x 2 − x y − x + 2 y + 1
II.2.a 5 p Arătați că 1 ∘ 1 = 2 1\circ1=2 1 ∘ 1 = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 1 ∘ 1 = 1 2 − 1 ⋅ 1 − 1 + 2 ⋅ 1 + 1 = 1\circ1=1^2-1\cdot1-1+2\cdot1+1= 1 ∘ 1 = 1 2 − 1 ⋅ 1 − 1 + 2 ⋅ 1 + 1 = 3 p = 1 − 1 − 1 + 2 + 1 = 2 =1-1-1+2+1=2 = 1 − 1 − 1 + 2 + 1 = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numerele reale x x x x ∘ ( 2 x ) = 1 x\circ(2x)=1 x ∘ ( 2 x ) = 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 0 x=0 x = 0 x = 3 x=3 x = 3
Criterii (după barem) x ∘ ( 2 x ) = − x 2 + 3 x + 1 x\circ(2x)=-x^2+3x+1 x ∘ ( 2 x ) = − x 2 + 3 x + 1 x x x 2 p − x 2 + 3 x + 1 = 1 -x^2+3x+1=1 − x 2 + 3 x + 1 = 1 − x 2 + 3 x = 0 -x^2+3x=0 − x 2 + 3 x = 0 x = 0 x=0 x = 0 x = 3 x=3 x = 3 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile ( m , n ) (m,n) ( m , n ) m ∘ n = m m\circ n=m m ∘ n = m
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 )
Criterii (după barem) m ∘ n = m 2 − m n − m + 2 n + 1 m\circ n=m^2-mn-m+2n+1 m ∘ n = m 2 − mn − m + 2 n + 1 m 2 − m n − 2 m + 2 n = − 1 m^2-mn-2m+2n=-1 m 2 − mn − 2 m + 2 n = − 1 2 p ( m − 2 ) ( m − n ) = − 1 (m-2)(m-n)=-1 ( m − 2 ) ( m − n ) = − 1 m m m n n n ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = 5 − x + y 2 + x y x*y=5-\dfrac{x+y}{2}+xy x ∗ y = 5 − 2 x + y + x y
II.2.a 5 p Arătați că 1 ∗ 3 = 6 1*3=6 1 ∗ 3 = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 1 ∗ 3 = 5 − 1 + 3 2 + 1 ⋅ 3 = 1*3=5-\dfrac{1+3}{2}+1\cdot3= 1 ∗ 3 = 5 − 2 1 + 3 + 1 ⋅ 3 = 3 p = 5 − 2 + 3 = 6 =5-2+3=6 = 5 − 2 + 3 = 6 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real x x x x ∗ 5 = 2 x x*5=2x x ∗ 5 = 2 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 x=-1 x = − 1
Criterii (după barem) x ∗ 5 = 9 x + 5 2 x*5=\dfrac{9x+5}{2} x ∗ 5 = 2 9 x + 5 x x x 3 p 9 x + 5 2 = 2 x \dfrac{9x+5}{2}=2x 2 9 x + 5 = 2 x x = − 1 x=-1 x = − 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile ( m , n ) (m,n) ( m , n ) ( m − n ) ∗ ( m + n ) = m 2 (m-n)*(m+n)=m^2 ( m − n ) ∗ ( m + n ) = m 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) ( 4 , 1 ) (4,1) ( 4 , 1 ) ( 5 , 0 ) (5,0) ( 5 , 0 )
Criterii (după barem) ( m − n ) ∗ ( m + n ) = 5 − m + m 2 − n 2 (m-n)*(m+n)=5-m+m^2-n^2 ( m − n ) ∗ ( m + n ) = 5 − m + m 2 − n 2 m + n 2 = 5 m+n^2=5 m + n 2 = 5 2 p Cum m m m n n n ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) ( 4 , 1 ) (4,1) ( 4 , 1 ) ( 5 , 0 ) (5,0) ( 5 , 0 ) 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = ( x − 6 ) ( y − 6 ) + 6 x\circ y=(x-6)(y-6)+6 x ∘ y = ( x − 6 ) ( y − 6 ) + 6
II.2.a 5 p Arătați că 9 ∘ 8 = 12 9\circ8=12 9 ∘ 8 = 12
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în lege. 3 p Rezultatul 12. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că e = 7 e=7 e = 7 ∘ \circ ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x∘7=x. 2 p 7∘x=x și concluzia. 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numerele reale nenule x pentru care x ∘ ( 6 / x ) = 6 x x\circ(6/x)=6x x ∘ ( 6/ x ) = 6 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { 1 , 3 } x\in\{1,3\} x ∈ { 1 , 3 }
Criterii (după barem) Înlocuirea și expresia operației. 2 p Ecuația și soluțiile 1,3. 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = x ⋅ 3 y + y ⋅ 3 x x\circ y=x\cdot3^y+y\cdot3^x x ∘ y = x ⋅ 3 y + y ⋅ 3 x
II.2.a 5 p Arătați că 1 ∘ 2 = 15 1\circ2=15 1 ∘ 2 = 15
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în lege. 3 p Rezultatul 15. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că e = 0 e=0 e = 0 ∘ \circ ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x∘0=x. 2 p 0∘x=x și concluzia. 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numărul real nenul x pentru care x ∘ ( 3 x ) = ( 2 x ) ∘ ( 2 x ) x\circ(3x)=(2x)\circ(2x) x ∘ ( 3 x ) = ( 2 x ) ∘ ( 2 x )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) Calcularea celor două operații. 2 p Factorizarea și soluția nenulă x=1. 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe M = [ 0 , + ∞ ) M=[0,+\infty) M = [ 0 , + ∞ ) x ∗ y = x + y − x y x*y=x+y-\sqrt{xy} x ∗ y = x + y − x y
II.2.a 5 p Arătați că 1 ∗ 4 = 3 1*4=3 1 ∗ 4 = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în legea de compoziție. 3 p Calcularea rezultatului 3. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x ∈ M x\in M x ∈ M x ∗ ( 9 x ) = x 2 x*(9x)=x^2 x ∗ ( 9 x ) = x 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { 0 , 7 } x\in\{0,7\} x ∈ { 0 , 7 }
Criterii (după barem) Simplificarea lui x ∗ ( 9 x ) x*(9x) x ∗ ( 9 x ) 7 x 7x 7 x 2 p Rezolvarea ecuației și soluțiile 0 și 7. 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 x ∗ 2 x + 2 = 6 x 2^x*2^{x+2}=6^x 2 x ∗ 2 x + 2 = 6 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) Simplificarea membrului stâng la 3 ⋅ 2 x 3\cdot2^x 3 ⋅ 2 x 3 p Ecuația 3 x = 3 3^x=3 3 x = 3 x = 1 x=1 x = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 1 4 ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 x\circ y=\dfrac14(x+1)(y+1)-1 x ∘ y = 4 1 ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1
II.2.a 5 p Arătați că 1 ∘ 5 = 2 1\circ5=2 1 ∘ 5 = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 1 ∘ 5 = 1 4 ( 1 + 1 ) ( 5 + 1 ) − 1 = 1\circ5=\dfrac14(1+1)(5+1)-1= 1 ∘ 5 = 4 1 ( 1 + 1 ) ( 5 + 1 ) − 1 = 3 p = 3 − 1 = 2 =3-1=2 = 3 − 1 = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că e = 3 e=3 e = 3 ∘ \circ ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x ∘ 3 = 1 4 ( x + 1 ) ( 3 + 1 ) − 1 = x + 1 − 1 = x x\circ3=\dfrac14(x+1)(3+1)-1=x+1-1=x x ∘ 3 = 4 1 ( x + 1 ) ( 3 + 1 ) − 1 = x + 1 − 1 = x x x x 2 p 3 ∘ x = 1 4 ( 3 + 1 ) ( x + 1 ) − 1 = x + 1 − 1 = x 3\circ x=\dfrac14(3+1)(x+1)-1=x+1-1=x 3 ∘ x = 4 1 ( 3 + 1 ) ( x + 1 ) − 1 = x + 1 − 1 = x x x x e = 3 e=3 e = 3 ∘ \circ ∘ 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.