Acasă Bacalaureat Matematică M2 Pe teme Primitive și integrale definite Primitive și integrale definite: Matematică M2 la Bacalaureat
77 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x + 2 x 2 + 1 f(x)=x+\sqrt{2x^2+1} f ( x ) = x + 2 x 2 + 1
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 3 5 ( f ( x ) − 2 x 2 + 1 ) d x = 8 \int_3^5(f(x)-\sqrt{2x^2+1})\,dx=8 ∫ 3 5 ( f ( x ) − 2 x 2 + 1 ) d x = 8
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea la x și primitiva x^2/2. 3 p Evaluarea 8. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 2 x ( f ( x ) − x ) 2 d x = ln 3 4 \int_1^2\dfrac{x}{(f(x)-x)^2}\,dx=\dfrac{\ln3}{4} ∫ 1 2 ( f ( x ) − x ) 2 x d x = 4 ln 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Simplificarea și primitiva logaritmică. 3 p Evaluarea ln 3/4. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați numărul real a a a g : [ 0 , 2 ] → R g:[0,2]\to\mathbb R g : [ 0 , 2 ] → R g ( x ) = f ( x ) g(x)=f(x) g ( x ) = f ( x ) O x Ox O x a π / 3 a\pi/3 aπ /3
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 56 a=56 a = 56
Criterii (după barem) Formula volumului, pătratul și descompunerea integralelor. 2 p Evaluarea volumului 56 pi/3 și a=56. 3 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = ( x 2 + 4 x ) e − x f(x)=(x^2+4x)e^{-x} f ( x ) = ( x 2 + 4 x ) e − x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 3 f ( x ) e x d x = 27 \int_0^3f(x)e^x\,dx=27 ∫ 0 3 f ( x ) e x d x = 27
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea și calculul primitivei. 3 p Evaluarea 27. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ − 1 0 f ( x ) x + 4 d x = − 1 \int_{-1}^0\dfrac{f(x)}{x+4}\,dx=-1 ∫ − 1 0 x + 4 f ( x ) d x = − 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Simplificarea și integrarea prin părți. 3 p Evaluarea-1. 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = ( x 2 + x ) e x f(x)=\left(x^2+x\right)e^x f ( x ) = ( x 2 + x ) e x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 1 f ( x ) e x d x = 5 6 \displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\frac56 ∫ 0 1 e x f ( x ) d x = 6 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 1 f ( x ) e x d x = ∫ 0 1 ( x 2 + x ) d x = x 3 3 ∣ 0 1 + x 2 2 ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^1\left(x^2+x\right)dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1+\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1= ∫ 0 1 e x f ( x ) d x = ∫ 0 1 ( x 2 + x ) d x = 3 x 3 0 1 + 2 x 2 0 1 = 3 p = 1 3 + 1 2 = 5 6 =\dfrac13+\dfrac12=\dfrac56 = 3 1 + 2 1 = 6 5 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 2 f ( x ) x d x = e ( 2 e − 1 ) \displaystyle\int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=e(2e-1) ∫ 1 2 x f ( x ) d x = e ( 2 e − 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 2 f ( x ) x d x = ∫ 1 2 ( x + 1 ) ( e x ) ′ d x = x e x ∣ 1 2 = \displaystyle\int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^2(x+1)\left(e^x\right)'dx=\left.xe^x\right|_1^2= ∫ 1 2 x f ( x ) d x = ∫ 1 2 ( x + 1 ) ( e x ) ′ d x = x e x ∣ 1 2 = 3 p = 2 e 2 − e = e ( 2 e − 1 ) =2e^2-e=e(2e-1) = 2 e 2 − e = e ( 2 e − 1 ) 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați numărul real a a a ∫ 2 4 x f ( x ) f ( x − 1 ) d x = a e ( 5 + ln 3 ) \displaystyle\int_2^4\frac{xf(x)}{f(x-1)}\,dx=ae(5+\ln3) ∫ 2 4 f ( x − 1 ) x f ( x ) d x = a e ( 5 + ln 3 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) ∫ 2 4 x f ( x ) f ( x − 1 ) d x = e ∫ 2 4 x 2 + x x − 1 d x = e ∫ 2 4 ( x + 2 + 2 x − 1 ) d x = e ( x 2 2 + 2 x + 2 ln ( x − 1 ) ) ∣ 2 4 = 2 e ( 5 + ln 3 ) \displaystyle\int_2^4\frac{xf(x)}{f(x-1)}\,dx=e\int_2^4\frac{x^2+x}{x-1}\,dx=e\int_2^4\left(x+2+\frac2{x-1}\right)dx=e\left.\left(\frac{x^2}{2}+2x+2\ln(x-1)\right)\right|_2^4=2e(5+\ln3) ∫ 2 4 f ( x − 1 ) x f ( x ) d x = e ∫ 2 4 x − 1 x 2 + x d x = e ∫ 2 4 ( x + 2 + x − 1 2 ) d x = e ( 2 x 2 + 2 x + 2 ln ( x − 1 ) ) 2 4 = 2 e ( 5 + ln 3 ) 3 p a e ( 5 + ln 3 ) = 2 e ( 5 + ln 3 ) ae(5+\ln3)=2e(5+\ln3) a e ( 5 + ln 3 ) = 2 e ( 5 + ln 3 ) a = 2 a=2 a = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( − 1 , + ∞ ) → R f:(-1,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( 2 x 2 + 4 x ) x + 1 f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1} f ( x ) = ( 2 x 2 + 4 x ) x + 1
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 3 f ( x ) x + 1 d x = 36 \int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=36 ∫ 0 3 x + 1 f ( x ) d x = 36
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea integrandului și calcularea primitivei. 3 p Calculul la capete, rezultat 36. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 3 8 x 2 + 2 x f ( x ) d x = 1 \int_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=1 ∫ 3 8 f ( x ) x 2 + 2 x d x = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea integrandului și primitiva x + 1 \sqrt{x+1} x + 1 3 p Calculul la capete, rezultat 1. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Fie g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb R g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = 4 x + 1 f ( x ) g(x)=\frac{4\sqrt{x+1}}{f(x)} g ( x ) = f ( x ) 4 x + 1 g g g O x Ox O x x = 1 x=1 x = 1 x = 4 x=4 x = 4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ln 2 \ln2 ln 2
Criterii (după barem) Simplificarea lui g g g 3 p Calculul integralului prin fracții simple, rezultat ln 2 \ln2 ln 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 5 x 2 − 3 + ln x f(x)=5x^2-3+\ln x f ( x ) = 5 x 2 − 3 + ln x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 1 2 ( f ( x ) − ln x ) d x = 26 3 \displaystyle\int_1^2\big(f(x)-\ln x\big)dx=\frac{26}{3} ∫ 1 2 ( f ( x ) − ln x ) d x = 3 26
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 2 ( f ( x ) − ln x ) d x = ∫ 1 2 ( 5 x 2 − 3 ) d x = 5 x 3 3 ∣ 1 2 − 3 x ∣ 1 2 = \displaystyle\int_1^2\big(f(x)-\ln x\big)dx=\int_1^2\left(5x^2-3\right)dx=\left.\frac{5x^3}{3}\right|_1^2-\left.3x\right|_1^2= ∫ 1 2 ( f ( x ) − ln x ) d x = ∫ 1 2 ( 5 x 2 − 3 ) d x = 3 5 x 3 1 2 − 3 x ∣ 1 2 = 3 p = 35 3 − 3 = 26 3 =\dfrac{35}{3}-3=\dfrac{26}{3} = 3 35 − 3 = 3 26 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 e 1 x ⋅ ( f ( x ) − 5 x 2 + 3 ) d x = 1 2 \displaystyle\int_1^e\frac1x\cdot\left(f(x)-5x^2+3\right)dx=\frac12 ∫ 1 e x 1 ⋅ ( f ( x ) − 5 x 2 + 3 ) d x = 2 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 e 1 x ⋅ ( f ( x ) − 5 x 2 + 3 ) d x = ∫ 1 e ln x x d x = ∫ 1 e ln x ⋅ ( ln x ) ′ d x = ln 2 x 2 ∣ 1 e = \displaystyle\int_1^e\frac1x\cdot\left(f(x)-5x^2+3\right)dx=\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx=\int_1^e\ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\left.\frac{\ln^2x}{2}\right|_1^e= ∫ 1 e x 1 ⋅ ( f ( x ) − 5 x 2 + 3 ) d x = ∫ 1 e x ln x d x = ∫ 1 e ln x ⋅ ( ln x ) ′ d x = 2 ln 2 x 1 e = 3 p = ln 2 e 2 − ln 2 1 2 = 1 2 =\dfrac{\ln^2e}{2}-\dfrac{\ln^21}{2}=\dfrac12 = 2 ln 2 e − 2 ln 2 1 = 2 1 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați numărul real m m m g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb R g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = f ( x ) + 3 x g(x)=\dfrac{f(x)+3}{\sqrt x} g ( x ) = x f ( x ) + 3 O x Ox O x x = 1 x=1 x = 1 x = 4 x=4 x = 4 58 + m ln 2 58+m\ln2 58 + m ln 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 8 m=8 m = 8
Criterii (după barem) g ( x ) = 5 x 2 + ln x x g(x)=\dfrac{5x^2+\ln x}{\sqrt x} g ( x ) = x 5 x 2 + ln x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) A = ∫ 1 4 ∣ g ( x ) ∣ d x = ∫ 1 4 ( 5 x x + ( 2 x ) ′ ⋅ ln x ) d x = \mathcal A=\displaystyle\int_1^4|g(x)|\,dx=\int_1^4\left(5x\sqrt x+\left(2\sqrt x\right)'\cdot\ln x\right)dx= A = ∫ 1 4 ∣ g ( x ) ∣ d x = ∫ 1 4 ( 5 x x + ( 2 x ) ′ ⋅ ln x ) d x = 2 p = 2 x 2 x ∣ 1 4 + 2 x ln x ∣ 1 4 − 4 x ∣ 1 4 = 58 + 8 ln 2 =\left.2x^2\sqrt x\right|_1^4+\left.2\sqrt x\ln x\right|_1^4-\left.4\sqrt x\right|_1^4=58+8\ln2 = 2 x 2 x 1 4 + 2 x ln x ∣ 1 4 − 4 x ∣ 1 4 = 58 + 8 ln 2 58 + m ln 2 = 58 + 8 ln 2 58+m\ln2=58+8\ln2 58 + m ln 2 = 58 + 8 ln 2 m = 8 m=8 m = 8 3 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 3 x 2 + 4 + e x f(x)=3x^2+4+e^x f ( x ) = 3 x 2 + 4 + e x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 1 ( f ( x ) − 3 x 2 ) d x = e + 3 \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-3x^2\right)dx=e+3 ∫ 0 1 ( f ( x ) − 3 x 2 ) d x = e + 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 1 ( f ( x ) − 3 x 2 ) d x = ∫ 0 1 ( 4 + e x ) d x = 4 x ∣ 0 1 + e x ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-3x^2\right)dx=\int_0^1\left(4+e^x\right)dx=\left.4x\right|_0^1+\left.e^x\right|_0^1= ∫ 0 1 ( f ( x ) − 3 x 2 ) d x = ∫ 0 1 ( 4 + e x ) d x = 4 x ∣ 0 1 + e x ∣ 0 1 = 3 p = 4 + e − 1 = e + 3 =4+e-1=e+3 = 4 + e − 1 = e + 3 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 0 2 x f ( x ) − e x d x = ln 2 3 \displaystyle\int_0^2\frac{x}{f(x)-e^x}\,dx=\frac{\ln2}{3} ∫ 0 2 f ( x ) − e x x d x = 3 ln 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 2 x f ( x ) − e x d x = ∫ 0 2 x 3 x 2 + 4 d x = 1 6 ∫ 0 2 ( 3 x 2 + 4 ) ′ 3 x 2 + 4 d x = 1 6 ln ( 3 x 2 + 4 ) ∣ 0 2 = \displaystyle\int_0^2\frac{x}{f(x)-e^x}\,dx=\int_0^2\frac{x}{3x^2+4}\,dx=\frac16\int_0^2\frac{\left(3x^2+4\right)'}{3x^2+4}\,dx=\left.\frac16\ln\left(3x^2+4\right)\right|_0^2= ∫ 0 2 f ( x ) − e x x d x = ∫ 0 2 3 x 2 + 4 x d x = 6 1 ∫ 0 2 3 x 2 + 4 ( 3 x 2 + 4 ) ′ d x = 6 1 ln ( 3 x 2 + 4 ) 0 2 = 3 p = ln 16 6 − ln 4 6 = ln 2 3 =\dfrac{\ln16}{6}-\dfrac{\ln4}{6}=\dfrac{\ln2}{3} = 6 ln 16 − 6 ln 4 = 3 ln 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Se consideră G : R → R G:\mathbb R\to\mathbb R G : R → R g : R → R g:\mathbb R\to\mathbb R g : R → R g ( x ) = f ( x 2 ) − 3 x 4 g(x)=f\left(x^2\right)-3x^4 g ( x ) = f ( x 2 ) − 3 x 4 ∫ 0 1 G ( x ) d x = 1 − e 2 \displaystyle\int_0^1G(x)\,dx=\frac{1-e}{2} ∫ 0 1 G ( x ) d x = 2 1 − e G ( 1 ) = 2 G(1)=2 G ( 1 ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 1 G ( x ) d x = ∫ 0 1 x ′ G ( x ) d x = x G ( x ) ∣ 0 1 − ∫ 0 1 x g ( x ) d x = G ( 1 ) − ∫ 0 1 ( 4 x + x e x 2 ) d x = \displaystyle\int_0^1G(x)\,dx=\int_0^1x'G(x)\,dx=\left.xG(x)\right|_0^1-\int_0^1xg(x)\,dx=G(1)-\int_0^1\left(4x+xe^{x^2}\right)dx= ∫ 0 1 G ( x ) d x = ∫ 0 1 x ′ G ( x ) d x = x G ( x ) ∣ 0 1 − ∫ 0 1 xg ( x ) d x = G ( 1 ) − ∫ 0 1 ( 4 x + x e x 2 ) d x = 3 p = G ( 1 ) − 2 x 2 ∣ 0 1 − 1 2 e x 2 ∣ 0 1 = G ( 1 ) − e + 3 2 =G(1)-\left.2x^2\right|_0^1-\left.\dfrac12e^{x^2}\right|_0^1=G(1)-\dfrac{e+3}{2} = G ( 1 ) − 2 x 2 0 1 − 2 1 e x 2 0 1 = G ( 1 ) − 2 e + 3 G ( 1 ) − e + 3 2 = 1 − e 2 G(1)-\dfrac{e+3}{2}=\dfrac{1-e}{2} G ( 1 ) − 2 e + 3 = 2 1 − e G ( 1 ) = 2 G(1)=2 G ( 1 ) = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 + 4 ln x f(x)=x^2+4\ln x f ( x ) = x 2 + 4 ln x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = 7 / 3 \int_1^2(f(x)-4\ln x)\,dx=7/3 ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = 7/3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea și primitiva. 3 p Valoarea 7/3. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 e f ( x ) − x 2 x d x = 2 \int_1^e\dfrac{f(x)-x^2}{x}\,dx=2 ∫ 1 e x f ( x ) − x 2 d x = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea și primitiva. 3 p Valoarea 2. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați m ∈ R m\in\mathbb R m ∈ R ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = m ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) \int_1^2\bigl(f(x)f\prime\prime(x)+(f\prime(x))^2\bigr)\,dx=m(f(2)-f(1)) ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = m ( f ( 2 ) − f ( 1 ))
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 6 m=6 m = 6
Criterii (după barem) Recunoașterea derivatei produsului și evaluarea la capete. 3 p Derivatele egale cu 6 și m=6. 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.