Vectori și geometrie analitică în plan: Matematică M1 la Bacalaureat

27 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.

Bacalaureat 2026, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră $A(0,5)$ și $B(3,4)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $C(1,3)$

Criterii (după barem)

Calcularea vectorului sumă $3\vec i+9\vec j$ .3 p
Împărțirea la 3 și $C(1,3)$ .2 p

Bacalaureat 2026, simularea, I.55 p

I.55 p

În reperul $xOy$ se consideră $A(0,5)$ și $B(4,2)$ . Determinați ecuația dreptei care trece prin A și este perpendiculară pe OB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=-2x+5$

Criterii (după barem)

Panta OB=1/2 și panta perpendicularei-2.3 p
Ecuația y=-2 x+5.2 p

Bacalaureat 2026, simularea, I.65 p

I.65 p

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în A, cu $AB=9$ , $AC=12$ . M este mijlocul lui BC. Arătați că distanța de la C la dreapta AM este 7,2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Egalitatea înălțimilor sau justificare echivalentă prin ariile medianei.3 p
BC=15 și calculul distanței 7,2.2 p

Bacalaureat 2026, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,4)$ și $B(1,3)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $C(4,5)$

Criterii (după barem)

$\overrightarrow{OA}=6\vec i+4\vec j$ , $\overrightarrow{BC}=(x_C-1)\vec i+(y_C-3)\vec j$ 2 p
$\overrightarrow{BC}=\dfrac12\overrightarrow{OA}$ , deci $(x_C-1)\vec i+(y_C-3)\vec j=3\vec i+2\vec j$ , de unde obținem $C(4,5)$ 3 p

Bacalaureat 2026, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

În reperul $xOy$ , $A(3,6)$ , $B(4,1)$ , $C(5,a)$ . Determinați $a$ pentru care $OA\parallel BC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=3$

Criterii (după barem)

Calcularea pantei $m_{OA}=2$ .2 p
Folosirea lui $m_{BC}=a-1$ și obținerea lui $a=3$ .3 p

Bacalaureat 2026, varianta de rezervă, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,2)$ , $B(a,0)$ și $C(1,b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=3$ și $b=4$

Criterii (după barem)

$\overrightarrow{OA}=\dfrac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$ , deci punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$ 2 p
$\dfrac{a+1}{2}=2$ , $\dfrac{0+b}{2}=2$ , de unde obținem $a=3$ și $b=4$ 3 p

Bacalaureat 2026, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ , $B(2,2)$ și $C(4,6)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ ce trece prin punctul $B$ și este paralelă cu dreapta $AC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=x$

Criterii (după barem)

$m_{AC}=1$ , deci $m_d=1$ 3 p
Ecuația dreptei $d$ este $y-2=x-2$ , adică $y=x$ 2 p

Bacalaureat 2025, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

Fie $A(2,0)$ , $B(2,4)$ și $C(5,a)$ . Determinați $a\in\mathbb R$ , știind că OB și AC sunt paralele.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=6$

Criterii (după barem)

Panta lui OB este 2.2 p
Panta lui AC este a/3 și egalarea dă a=6.3 p

Bacalaureat 2025, simularea, I.55 p

I.55 p

Fie $A(1,2)$ , $B(7,4)$ și C astfel încât $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$ . Determinați D pentru care $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $D(3,1)$

Criterii (după barem)

CB=AB/2 și vectorul AB.3 p
Vectorul OD și D(3,1).2 p

Bacalaureat 2025, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ , $B(6,2)$ și $C(4,a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $AC$ și $OB$ sunt paralele.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=4$

Criterii (după barem)

$m_{OB}=\dfrac13$ 2 p
$m_{AC}=\dfrac{a-3}{3}$ și, cum $m_{OB}=m_{AC}$ , obținem $a=4$ 3 p

Bacalaureat 2025, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

Fie $A(0,1)$ , $B(5,0)$ , $C(6,3)$ , $D(a,b)$ , cu segmentele $AC$ și $BD$ având același mijloc. Determinați $a,b$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=1$ , $b=4$

Criterii (după barem)

Coordonatele mijloacelor lui $AC$ și $BD$ .3 p
Egalarea coordonatelor și $a=1$ , $b=4$ .2 p

Bacalaureat 2025, varianta de rezervă, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$ , $B(2,0)$ și $C(4,6)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ ce trece prin punctul $A$ și este paralelă cu dreapta $BC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=3x+1$

Criterii (după barem)

$m_{BC}=3$ , deci $m_d=3$ 3 p
Ecuația dreptei $d$ este $y-1=3(x-0)$ , adică $y=3x+1$ 2 p

Bacalaureat 2025, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$ și $B(6,4)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x_C=3$ și $y_C=4$

Criterii (după barem)

$\overrightarrow{OB}=6\vec i+4\vec j$ , $\overrightarrow{AC}=x_C\vec i+(y_C-2)\vec j$ 2 p
$2x_C\vec i+2(y_C-2)\vec j=6\vec i+4\vec j$ , de unde obținem $x_C=3$ și $y_C=4$ 3 p

Bacalaureat 2024, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

Fie $A(0,3)$ , $B(4,0)$ . Determinați $C$ astfel încât $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $C(4,3)$

Criterii (după barem)

Vectorii de poziție OA și OB.2 p
Adunarea și coordonatele C(4, 3).3 p

Bacalaureat 2024, simularea, I.55 p

I.55 p

Fie $A(1,4)$ , $B(4,6)$ , $C(4,2)$ . Determinați $D$ astfel încât $\overrightarrow{OD}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $D(3,0)$

Criterii (după barem)

Vectorii AB, AC și semisuma lor.3 p
Coordonatele D(3, 0).2 p

Bacalaureat 2024, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$ , $B(3,0)$ și $C(5,a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=4$

Criterii (după barem)

$m_{OA}=2$ 2 p
$m_{BC}=\dfrac a2$ și, cum $m_{OA}=m_{BC}$ , obținem $a=4$ 3 p

Bacalaureat 2024, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

Fie $A(3,1)$ și $B(3,0)$ . Determinați $C$ pentru care $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $C(6,1)$

Criterii (după barem)

Coordonatele vectorilor $\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{OB}$ .3 p
Egalarea lor și coordonatele $C(6,1)$ .2 p

Bacalaureat 2024, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,1)$ . Determinați coordonatele punctului $B$ pentru care $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OA}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $B(6,3)$

Criterii (după barem)

$\overrightarrow{OA}=2\vec i+\vec j$ , $\overrightarrow{AB}=(x_B-2)\vec i+(y_B-1)\vec j$ , unde $B(x_B,y_B)$ 3 p
$(x_B-2)\vec i+(y_B-1)\vec j=4\vec i+2\vec j$ , de unde obținem $x_B=6$ și $y_B=3$ 2 p

Bacalaureat 2023, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

Fie $A(5,3)$ , $B(-1,5)$ . Determinați C astfel încât $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{OC}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $C(1,2)$

Criterii (după barem)

Relația vectorială echivalentă că C este mijlocul lui OM, cu M mijlocul lui AB.3 p
Coordonatele C(1, 2).2 p

Bacalaureat 2023, simularea, I.55 p

I.55 p

În triunghiul ABC, M este mijlocul lui AC, iar D, E sunt pe AB cu AD=BE. Arătați că $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{CB}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Descompunerea vectorilor pe drumuri sau vectori de poziție echivalenți.2 p
Folosirea mijlocului și anularea vectorilor opuși pentru a obține CB.3 p

Alte teme

Toate temele →

Vectori și geometrie analitică în plan: Matematică M1 la Bacalaureat

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.65 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

Alte teme

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?