Bacalaureat 2026 la matematică M1: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial M1, sesiunea a doua (august) 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați termenul b3b_3 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n\ge1}, în care b1=2b_1=2 și b2=10b_2=10.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: b3=50b_3=50

Criterii (după barem)

  1. q=b2b1=5q=\dfrac{b_2}{b_1}=5, unde qq este rația progresiei geometrice3 p
  2. b3=b1q2=50b_3=b_1q^2=502 p

I.25 p

Se consideră funcțiile f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x−5f(x)=x-5 și g:R→Rg:\mathbb R\to\mathbb R, g(x)=ax−1g(x)=ax-1, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care (f∘g)(2)=2(f\circ g)(2)=2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Criterii (după barem)

  1. g(2)=2a−1g(2)=2a-1, (f∘g)(2)=2a−6(f\circ g)(2)=2a-6, pentru orice număr real aa3 p
  2. 2a−6=22a-6=2, de unde obținem a=4a=42 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡8x+log⁡8(8−x)=log⁡8(6+x)\log_8x+\log_8(8-x)=\log_8(6+x).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1 sau x=6x=6

Criterii (după barem)

  1. log⁡8(8x−x2)=log⁡8(6+x)\log_8\left(8x-x^2\right)=\log_8(6+x), de unde obținem x2−7x+6=0x^2-7x+6=02 p
  2. x=1x=1 sau x=6x=6, care convin3 p

I.45 p

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea A={1,2,4,6,8}A=\{1,2,4,6,8\}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 2020

Criterii (după barem)

  1. Cifra unităților se poate alege în 44 moduri2 p
  2. Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 55 moduri, deci se pot forma 4⋅5=204\cdot5=20 de numere3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1,3), B(2,2)B(2,2) și C(4,6)C(4,6). Determinați ecuația dreptei dd ce trece prin punctul BB și este paralelă cu dreapta ACAC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=xy=x

Criterii (după barem)

  1. mAC=1m_{AC}=1, deci md=1m_d=13 p
  2. Ecuația dreptei dd este y−2=x−2y-2=x-2, adică y=xy=x2 p

I.65 p

Se consideră expresia E(x)=3tg⁡x3+sin⁡x−2sin⁡2x3E(x)=3\operatorname{tg}\dfrac x3+\sin x-2\sin\dfrac{2x}{3}, unde x∈(0,3π2)x\in\left(0,\dfrac{3\pi}{2}\right). Arătați că E(π2)=1E\left(\dfrac\pi2\right)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. tg⁡π6=13\operatorname{tg}\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3}, sin⁡π2=1\sin\dfrac\pi2=1, sin⁡π3=32\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}3 p
  2. E(π2)=3⋅13+1−2⋅32=3+1−3=1E\left(\dfrac\pi2\right)=3\cdot\dfrac1{\sqrt3}+1-2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3+1-\sqrt3=12 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea A(a)=(1a−2a2−1−a1−a0)A(a)=\begin{pmatrix}1&a&-2a\\2&-1&-a\\1&-a&0\end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {x+ay−2az=−12x−y−az=ax−ay=a\begin{cases}x+ay-2az=-1\\2x-y-az=a\\x-ay=a\end{cases}, unde aa este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(2))=4\det\big(A(2)\big)=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(2)=(12−42−1−21−20)⇒det⁡(A(2))=∣12−42−1−21−20∣=A(2)=\begin{pmatrix}1&2&-4\\2&-1&-2\\1&-2&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(2)\big)=\begin{vmatrix}1&2&-4\\2&-1&-2\\1&-2&0\end{vmatrix}=2 p
  2. =0+16−4−4−4−0=4=0+16-4-4-4-0=43 p

II.1.b5 p

Pentru a=1a=1, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. {x+y−2z=−12x−y−z=1x−y=1\begin{cases}x+y-2z=-1\\2x-y-z=1\\x-y=1\end{cases} și ∣11−22−1−11−10∣=0\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&-1&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}=02 p
  2. ∣112−1∣≠0\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}\ne0 și ∣11−12−111−11∣=0\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=0, deci sistemul de ecuații are o infinitate de soluții3 p

II.1.c5 p

Arătați că, pentru orice a∈R∖{0,1}a\in\mathbb R\setminus\{0,1\}, sistemul de ecuații are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) și 4x0z0=14x_0z_0=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. det⁡(A(a))=2a2−2a\det\big(A(a)\big)=2a^2-2a; cum a∈R∖{0,1}a\in\mathbb R\setminus\{0,1\}, obținem că det⁡(A(a))≠0\det\big(A(a)\big)\ne0, deci sistemul de ecuații are soluție unică2 p
  2. Pentru a∈R∖{0,1}a\in\mathbb R\setminus\{0,1\}, x0=a2x_0=\dfrac a2, z0=12az_0=\dfrac1{2a}, deci 4x0z0=14x_0z_0=1, pentru orice a∈R∖{0,1}a\in\mathbb R\setminus\{0,1\}3 p

II.2

Se consideră polinomul f=X3+X2+aX+8f=X^3+X^2+aX+8, unde aa este număr real.

II.2.a5 p

Arătați că f(0)=8f(0)=8, pentru orice număr real aa.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f(0)=03+02+a⋅0+8=f(0)=0^3+0^2+a\cdot0+8=3 p
  2. =0+0+0+8=8=0+0+0+8=8, pentru orice număr real aa2 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real aa pentru care polinomul ff este divizibil cu polinomul g=X+2g=X+2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. f(−2)=4−2af(-2)=4-2a, pentru orice număr real aa3 p
  2. 4−2a=04-2a=0, de unde obținem a=2a=22 p

II.2.c5 p

Determinați numărul real aa pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului ff este egal cu 22.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−10a=-10

Criterii (după barem)

  1. Pentru x2x1=2\dfrac{x_2}{x_1}=2, cum x1+x2+x3=−1x_1+x_2+x_3=-1 și x1x2x3=−8x_1x_2x_3=-8, obținem 3x13+x12−4=03x_1^3+x_1^2-4=03 p
  2. (x1−1)(3x12+4x1+4)=0(x_1-1)\left(3x_1^2+4x_1+4\right)=0; cum ff este polinom de gradul 33 cu coeficienți reali și x2=2x1x_2=2x_1, rezultă că x1x_1 este număr real, deci x1=1x_1=1 și f(1)=0f(1)=0, de unde obținem a=−10a=-10, care convine2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=2x2−4x−3−(2x−3)e2xf(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=4(x−1)(1−e2x)f'(x)=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right), x∈Rx\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=4x−4−2e2x−(2x−3)⋅2e2x=f'(x)=4x-4-2e^{2x}-(2x-3)\cdot2e^{2x}=3 p
  2. =4(x−1)−4(x−1)e2x=4(x−1)(1−e2x)=4(x-1)-4(x-1)e^{2x}=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right), x∈Rx\in\mathbb R2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→0f(x)x2=4\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→0f(x)x2=lim⁡x→0f′(x)(x2)′=lim⁡x→04(x−1)(1−e2x)2x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{\left(x^2\right)'}=\lim_{x\to0}\frac{4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)}{2x}3 p
  2. lim⁡x→01−e2x2x=−1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-e^{2x}}{2x}=-1, de unde obținem lim⁡x→0f(x)x2=4(−1)(−1)=4\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=4(-1)(-1)=42 p

III.1.c5 p

Demonstrați că ecuația f(x)+n=0f(x)+n=0 are soluție unică, pentru orice număr natural nenul nn.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=0f'(x)=0\Leftrightarrow x=0 sau x=1x=1; pentru orice x∈(−∞,0]x\in(-\infty,0], f′(x)≤0f'(x)\le0, deci ff este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty,0], pentru orice x∈[0,1]x\in[0,1], f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe [0,1][0,1] și, pentru orice x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty), f′(x)<0f'(x)<0, deci ff este strict descrescătoare pe (1,+∞)(1,+\infty)3 p
  2. Cum f(0)=0f(0)=0, lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty și ff este continuă, obținem că ecuația f(x)+n=0f(x)+n=0 are soluție unică pentru orice număr natural nenul nn2 p

III.2

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x−2x2−4x+5f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫24f(x)x2−4x+5 dx=2\displaystyle\int_2^4f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫24f(x)x2−4x+5 dx=∫24(x−2) dx=(x22−2x)∣24=\displaystyle\int_2^4f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=\int_2^4(x-2)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|_2^4=3 p
  2. =0−(−2)=2=0-(-2)=22 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫13f(x) dx=0\displaystyle\int_1^3f(x)\,dx=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫13f(x) dx=∫13(x2−4x+5)′2x2−4x+5 dx=x2−4x+5∣13=\displaystyle\int_1^3f(x)\,dx=\int_1^3\frac{\left(x^2-4x+5\right)'}{2\sqrt{x^2-4x+5}}\,dx=\left.\sqrt{x^2-4x+5}\right|_1^3=3 p
  2. =2−2=0=\sqrt2-\sqrt2=02 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real nenul mm pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[2,3]→Rg:[2,3]\to\mathbb R, g(x)=f(x)g(x)=f(x), în jurul axei OxOx este egal cu π(1−πm)\pi\left(1-\dfrac\pi m\right).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=4m=4

Criterii (după barem)

  1. V=π∫23f2(x) dx=π∫23x2−4x+4x2−4x+5 dx=π∫23(1−1(x−2)2+1)dx=π(x−arctg⁡(x−2))∣23=V=\pi\displaystyle\int_2^3f^2(x)\,dx=\pi\int_2^3\frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+5}\,dx=\pi\int_2^3\left(1-\frac1{(x-2)^2+1}\right)dx=\pi\left.\big(x-\operatorname{arctg}(x-2)\big)\right|_2^3=3 p
  2. =π(1−π4)=\pi\left(1-\dfrac\pi4\right), deci π(1−πm)=π(1−π4)\pi\left(1-\dfrac\pi m\right)=\pi\left(1-\dfrac\pi4\right), de unde obținem m=4m=42 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M1.