Acasă Bacalaureat Matematică M1 Pe teme Matrice și determinanți Matrice și determinanți: Matematică M1 la Bacalaureat
71 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( a 0 − 2 1 1 1 − a 2 1 − 2 ) A(a)=\begin{pmatrix}a&0&-2\\1&1&1-a\\2&1&-2\end{pmatrix} A ( a ) = a 1 2 0 1 1 − 2 1 − a − 2 { a x − 2 z = 4 x + y + ( 1 − a ) z = 3 2 x + y − 2 z = 5 \begin{cases}ax-2z=4\\x+y+(1-a)z=3\\2x+y-2z=5\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x − 2 z = 4 x + y + ( 1 − a ) z = 3 2 x + y − 2 z = 5 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 0 ) = 2 \det A(0)=2 det A ( 0 ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea lui a = 0 a=0 a = 0 2 p Calculul determinantului egal cu 2. 3 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Determinați mulțimea numerelor reale a a a A ( a ) A(a) A ( a )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a ∈ R ∖ { 1 , 2 } a\in\mathbb R\setminus\{1,2\} a ∈ R ∖ { 1 , 2 }
Criterii (după barem) Calculul det A ( a ) = a 2 − 3 a + 2 \det A(a)=a^2-3a+2 det A ( a ) = a 2 − 3 a + 2 2 p Zerourile 1,2 și mulțimea R ∖ { 1 , 2 } \mathbb R\setminus\{1,2\} R ∖ { 1 , 2 } 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( a 1 1 1 − 1 a 3 2 1 ) A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&-1&a\\3&2&1\end{pmatrix} A ( a ) = a 1 3 1 − 1 2 1 a 1 { a x + y + z = 2 a x − y + a z = − 4 3 x + 2 y + z = 8 \begin{cases}ax+y+z=2a\\x-y+az=-4\\3x+2y+z=8\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x + y + z = 2 a x − y + a z = − 4 3 x + 2 y + z = 8 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 1 ) = 4 \det A(1)=4 det A ( 1 ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în determinant. 2 p Calculul egal cu 4. 3 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a ∈ R ∖ { − 1 , 2 } a\in\mathbb R\setminus\{-1,2\} a ∈ R ∖ { − 1 , 2 }
Criterii (după barem) Calculul determinantului-2 a^2+2 a+4. 3 p Mulțimea R fără-1 și 2. 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 − 2 a a 0 2 a 1 − a 0 0 0 1 − 3 a ) A(a)=\begin{pmatrix}1-2a&a&0\\2a&1-a&0\\0&0&1-3a\end{pmatrix} A ( a ) = 1 − 2 a 2 a 0 a 1 − a 0 0 0 1 − 3 a a a a
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 4 \det\big(A(1)\big)=4 det ( A ( 1 ) ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 1 ) = ( − 1 1 0 2 0 0 0 0 − 2 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ − 1 1 0 2 0 0 0 0 − 2 ∣ = A(1)=\begin{pmatrix}-1&1&0\\2&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}-1&1&0\\2&0&0\\0&0&-2\end{vmatrix}= A ( 1 ) = − 1 2 0 1 0 0 0 0 − 2 ⇒ det ( A ( 1 ) ) = − 1 2 0 1 0 0 0 0 − 2 = 2 p = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − ( − 4 ) = 4 =0+0+0-0-0-(-4)=4 = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − ( − 4 ) = 4 3 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că A ( a ) ⋅ A ( b ) = A ( a + b − 3 a b ) A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab) A ( a ) ⋅ A ( b ) = A ( a + b − 3 ab ) a a a b b b
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( a ) ⋅ A ( b ) = ( 1 − 2 a − 2 b + 4 a b + 2 a b b − 2 a b + a − a b 0 2 a − 4 a b + 2 b − 2 a b 2 a b + 1 − a − b + a b 0 0 0 1 − 3 a − 3 b + 9 a b ) = A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-2a-2b+4ab+2ab&b-2ab+a-ab&0\\2a-4ab+2b-2ab&2ab+1-a-b+ab&0\\0&0&1-3a-3b+9ab\end{pmatrix}= A ( a ) ⋅ A ( b ) = 1 − 2 a − 2 b + 4 ab + 2 ab 2 a − 4 ab + 2 b − 2 ab 0 b − 2 ab + a − ab 2 ab + 1 − a − b + ab 0 0 0 1 − 3 a − 3 b + 9 ab = 3 p = ( 1 − 2 ( a + b − 3 a b ) a + b − 3 a b 0 2 ( a + b − 3 a b ) 1 − ( a + b − 3 a b ) 0 0 0 1 − 3 ( a + b − 3 a b ) ) = A ( a + b − 3 a b ) =\begin{pmatrix}1-2(a+b-3ab)&a+b-3ab&0\\2(a+b-3ab)&1-(a+b-3ab)&0\\0&0&1-3(a+b-3ab)\end{pmatrix}=A(a+b-3ab) = 1 − 2 ( a + b − 3 ab ) 2 ( a + b − 3 ab ) 0 a + b − 3 ab 1 − ( a + b − 3 ab ) 0 0 0 1 − 3 ( a + b − 3 ab ) = A ( a + b − 3 ab ) a a a b b b 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numărul real a a a A ( 1 ) ⋅ A ( a ) + A ( 5 ) = 2 A ( 4 ) A(1)\cdot A(a)+A(5)=2A(4) A ( 1 ) ⋅ A ( a ) + A ( 5 ) = 2 A ( 4 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 1 a=-1 a = − 1
Criterii (după barem) A ( 1 ) ⋅ A ( a ) = A ( 1 − 2 a ) A(1)\cdot A(a)=A(1-2a) A ( 1 ) ⋅ A ( a ) = A ( 1 − 2 a ) 2 A ( 4 ) − A ( 5 ) = A ( 3 ) 2A(4)-A(5)=A(3) 2 A ( 4 ) − A ( 5 ) = A ( 3 ) 2 p A ( 1 − 2 a ) = A ( 3 ) A(1-2a)=A(3) A ( 1 − 2 a ) = A ( 3 ) 1 − 2 a = 3 1-2a=3 1 − 2 a = 3 a = − 1 a=-1 a = − 1 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a a a 3 a 0 2 1 ) A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&3&a\\0&2&1\end{pmatrix} A ( a ) = 1 a 0 a 3 2 a a 1 { x + a y + a z = 1 a x + 3 y + a z = 0 2 y + z = 0 \begin{cases}x+ay+az=1\\ax+3y+az=0\\2y+z=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + a y + a z = 1 a x + 3 y + a z = 0 2 y + z = 0 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 1 ) = 2 \det A(1)=2 det A ( 1 ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrierea matricei A ( 1 ) A(1) A ( 1 ) 2 p Calcularea determinantului egal cu 2. 3 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că sistemul are soluție unică pentru orice a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calcularea determinantului a 2 − 2 a + 3 a^2-2a+3 a 2 − 2 a + 3 3 p Scrierea ( a − 1 ) 2 + 2 > 0 (a-1)^2+2>0 ( a − 1 ) 2 + 2 > 0 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați a ∈ N ∗ a\in\mathbb N^* a ∈ N ∗ z 0 = n x 0 z_0=nx_0 z 0 = n x 0 n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 1 a=1 a = 1 n = 2 n=2 n = 2
Criterii (după barem) Obținerea relației 2 a = n ( 3 − 2 a ) 2a=n(3-2a) 2 a = n ( 3 − 2 a ) 3 p Folosirea restricțiilor naturale și obținerea lui a = 1 a=1 a = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricele I 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A ( a ) = ( 2 a − 1 2 1 0 − 1 − a 0 2 2 a ) A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix} A ( a ) = 2 a − 1 0 0 2 − 1 2 1 − a 2 a a a a
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 3 ) ) = 0 \det\big(A(3)\big)=0 det ( A ( 3 ) ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 3 ) = ( 5 2 1 0 − 1 − 3 0 2 6 ) ⇒ det ( A ( 3 ) ) = ∣ 5 2 1 0 − 1 − 3 0 2 6 ∣ = A(3)=\begin{pmatrix}5&2&1\\0&-1&-3\\0&2&6\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(3)\big)=\begin{vmatrix}5&2&1\\0&-1&-3\\0&2&6\end{vmatrix}= A ( 3 ) = 5 0 0 2 − 1 2 1 − 3 6 ⇒ det ( A ( 3 ) ) = 5 0 0 2 − 1 2 1 − 3 6 = 2 p = − 30 + 0 + 0 − 0 + 30 − 0 = 0 =-30+0+0-0+30-0=0 = − 30 + 0 + 0 − 0 + 30 − 0 = 0 3 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că A ( a ) ⋅ A ( a ) = ( 2 a − 1 ) A ( a ) A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a) A ( a ) ⋅ A ( a ) = ( 2 a − 1 ) A ( a ) a a a
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( a ) ⋅ A ( a ) = ( ( 2 a − 1 ) 2 4 a − 2 2 a − 1 0 1 − 2 a a − 2 a 2 0 − 2 + 4 a − 2 a + 4 a 2 ) = A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}(2a-1)^2&4a-2&2a-1\\0&1-2a&a-2a^2\\0&-2+4a&-2a+4a^2\end{pmatrix}= A ( a ) ⋅ A ( a ) = ( 2 a − 1 ) 2 0 0 4 a − 2 1 − 2 a − 2 + 4 a 2 a − 1 a − 2 a 2 − 2 a + 4 a 2 = 3 p = ( ( 2 a − 1 ) 2 2 ( 2 a − 1 ) 2 a − 1 0 − ( 2 a − 1 ) − a ( 2 a − 1 ) 0 2 ( 2 a − 1 ) 2 a ( 2 a − 1 ) ) = ( 2 a − 1 ) A ( a ) =\begin{pmatrix}(2a-1)^2&2(2a-1)&2a-1\\0&-(2a-1)&-a(2a-1)\\0&2(2a-1)&2a(2a-1)\end{pmatrix}=(2a-1)A(a) = ( 2 a − 1 ) 2 0 0 2 ( 2 a − 1 ) − ( 2 a − 1 ) 2 ( 2 a − 1 ) 2 a − 1 − a ( 2 a − 1 ) 2 a ( 2 a − 1 ) = ( 2 a − 1 ) A ( a ) a a a 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Se consideră matricea B ( n ) = A ( n ) + n I 3 B(n)=A(n)+nI_3 B ( n ) = A ( n ) + n I 3 n n n n n n A ( n ) ⋅ B ( n ) = 2 n 2 A ( n ) A(n)\cdot B(n)=2n^2A(n) A ( n ) ⋅ B ( n ) = 2 n 2 A ( n )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: n = 1 n=1 n = 1
Criterii (după barem) A ( n ) ⋅ B ( n ) = ( 3 n − 1 ) A ( n ) A(n)\cdot B(n)=(3n-1)A(n) A ( n ) ⋅ B ( n ) = ( 3 n − 1 ) A ( n ) n n n 3 p ( 3 n − 1 ) A ( n ) = 2 n 2 A ( n ) (3n-1)A(n)=2n^2A(n) ( 3 n − 1 ) A ( n ) = 2 n 2 A ( n ) n n n n = 1 n=1 n = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a − 2 a 2 − 1 − a 1 − a 0 ) A(a)=\begin{pmatrix}1&a&-2a\\2&-1&-a\\1&-a&0\end{pmatrix} A ( a ) = 1 2 1 a − 1 − a − 2 a − a 0 { x + a y − 2 a z = − 1 2 x − y − a z = a x − a y = a \begin{cases}x+ay-2az=-1\\2x-y-az=a\\x-ay=a\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + a y − 2 a z = − 1 2 x − y − a z = a x − a y = a a a a
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 4 \det\big(A(2)\big)=4 det ( A ( 2 ) ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 2 ) = ( 1 2 − 4 2 − 1 − 2 1 − 2 0 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 1 2 − 4 2 − 1 − 2 1 − 2 0 ∣ = A(2)=\begin{pmatrix}1&2&-4\\2&-1&-2\\1&-2&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(2)\big)=\begin{vmatrix}1&2&-4\\2&-1&-2\\1&-2&0\end{vmatrix}= A ( 2 ) = 1 2 1 2 − 1 − 2 − 4 − 2 0 ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 1 2 1 2 − 1 − 2 − 4 − 2 0 = 2 p = 0 + 16 − 4 − 4 − 4 − 0 = 4 =0+16-4-4-4-0=4 = 0 + 16 − 4 − 4 − 4 − 0 = 4 3 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Pentru a = 1 a=1 a = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) { x + y − 2 z = − 1 2 x − y − z = 1 x − y = 1 \begin{cases}x+y-2z=-1\\2x-y-z=1\\x-y=1\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + y − 2 z = − 1 2 x − y − z = 1 x − y = 1 ∣ 1 1 − 2 2 − 1 − 1 1 − 1 0 ∣ = 0 \begin{vmatrix}1&1&-2\\2&-1&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}=0 1 2 1 1 − 1 − 1 − 2 − 1 0 = 0 2 p ∣ 1 1 2 − 1 ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}\ne0 1 2 1 − 1 = 0 ∣ 1 1 − 1 2 − 1 1 1 − 1 1 ∣ = 0 \begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=0 1 2 1 1 − 1 − 1 − 1 1 1 = 0 3 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Arătați că, pentru orice a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a\in\mathbb R\setminus\{0,1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 4 x 0 z 0 = 1 4x_0z_0=1 4 x 0 z 0 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) det ( A ( a ) ) = 2 a 2 − 2 a \det\big(A(a)\big)=2a^2-2a det ( A ( a ) ) = 2 a 2 − 2 a a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a\in\mathbb R\setminus\{0,1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } det ( A ( a ) ) ≠ 0 \det\big(A(a)\big)\ne0 det ( A ( a ) ) = 0 2 p Pentru a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a\in\mathbb R\setminus\{0,1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } x 0 = a 2 x_0=\dfrac a2 x 0 = 2 a z 0 = 1 2 a z_0=\dfrac1{2a} z 0 = 2 a 1 4 x 0 z 0 = 1 4x_0z_0=1 4 x 0 z 0 = 1 a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a\in\mathbb R\setminus\{0,1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră I 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A = ( 0 0 1 − 1 0 0 0 − 1 0 ) A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix} A = 0 − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 B ( x ) = ( 1 x 0 0 1 x − x 0 1 ) B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix} B ( x ) = 1 0 − x x 1 0 0 x 1 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A = 1 \det A=1 det A = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrierea dezvoltării determinantului. 3 p Rezultatul 1. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că A − B ( x ) A = x I 3 A-B(x)A=xI_3 A − B ( x ) A = x I 3 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculul produsului și al diferenței. 3 p Identificarea lui xI 3. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Pentru fiecare x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R A C ( x ) = B ( x ) AC(x)=B(x) A C ( x ) = B ( x ) C ( x ) − C ( y ) = ( y − x ) A C(x)-C(y)=(y-x)A C ( x ) − C ( y ) = ( y − x ) A x , y ∈ R x,y\in\mathbb R x , y ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculul inversei și al lui C(x). 3 p Diferența egală cu(y-x)A. 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră A ( a ) = ( a 1 − a 3 1 − 2 1 − 3 a ) A(a)=\begin{pmatrix}a&1&-a\\3&1&-2\\1&-3&a\end{pmatrix} A ( a ) = a 3 1 1 1 − 3 − a − 2 a { a x + y − a z = 1 3 x + y − 2 z = 1 x − 3 y + a z = − 3 \begin{cases}ax+y-az=1\\3x+y-2z=1\\x-3y+az=-3\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x + y − a z = 1 3 x + y − 2 z = 1 x − 3 y + a z = − 3 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 0 ) = − 2 \det A(0)=-2 det A ( 0 ) = − 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea lui a=0. 2 p Calculul determinantului-2. 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.