Bacalaureat 2026 la matematică M1: sesiunea specială

Subiectul oficial M1, sesiunea specială 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați termenul a2a_2 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\ge1}, în care a1=6a_1=6 și a3=30a_3=30.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a2=18a_2=18

Criterii (după barem)

  1. a2=a1+a32=6+302=a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}=\dfrac{6+30}{2}=3 p
  2. =362=18=\dfrac{36}{2}=182 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=ax2+2ax−1f(x)=ax^2+2ax-1, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care (f∘f)(0)=0(f\circ f)(0)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1a=-1

Criterii (după barem)

  1. f(0)=−1f(0)=-1, (f∘f)(0)=−a−1(f\circ f)(0)=-a-1, pentru orice număr real aa3 p
  2. −a−1=0-a-1=0, de unde obținem a=−1a=-12 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x2−4x+3)=2log⁡2x\log_2\left(2x^2-4x+3\right)=2\log_2x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1 sau x=3x=3

Criterii (după barem)

  1. log⁡2(2x2−4x+3)=log⁡2x2\log_2\left(2x^2-4x+3\right)=\log_2x^2, de unde obținem x2−4x+3=0x^2-4x+3=02 p
  2. x=1x=1 sau x=3x=3, care convin3 p

I.45 p

Se consideră mulțimea A={2,4,5,6}A=\{2,4,5,6\}. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea AA.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1818

Criterii (după barem)

  1. Cifra unităților se poate alege în 33 moduri2 p
  2. Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 33 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în câte 22 moduri, deci se pot forma 3⋅3⋅2=183\cdot3\cdot2=18 numere3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(6,4)A(6,4) și B(1,3)B(1,3). Determinați coordonatele punctului CC pentru care 2BC→=OA→2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: C(4,5)C(4,5)

Criterii (după barem)

  1. OA→=6i⃗+4j⃗\overrightarrow{OA}=6\vec i+4\vec j, BC→=(xC−1)i⃗+(yC−3)j⃗\overrightarrow{BC}=(x_C-1)\vec i+(y_C-3)\vec j2 p
  2. BC→=12OA→\overrightarrow{BC}=\dfrac12\overrightarrow{OA}, deci (xC−1)i⃗+(yC−3)j⃗=3i⃗+2j⃗(x_C-1)\vec i+(y_C-3)\vec j=3\vec i+2\vec j, de unde obținem C(4,5)C(4,5)3 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=6AC=6 și tg⁡C=13\operatorname{tg}C=\dfrac13. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABCABC este egală cu 10\sqrt{10}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. AB6=13\dfrac{AB}{6}=\dfrac13, de unde obținem AB=2AB=22 p
  2. BC=210BC=2\sqrt{10} și, cum R=BC2R=\dfrac{BC}{2}, obținem R=10R=\sqrt{10}3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea A(a)=(1−2aa02a1−a0001−3a)A(a)=\begin{pmatrix}1-2a&a&0\\2a&1-a&0\\0&0&1-3a\end{pmatrix}, unde aa este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(1))=4\det\big(A(1)\big)=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(1)=(−11020000−2)⇒det⁡(A(1))=∣−11020000−2∣=A(1)=\begin{pmatrix}-1&1&0\\2&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}-1&1&0\\2&0&0\\0&0&-2\end{vmatrix}=2 p
  2. =0+0+0−0−0−(−4)=4=0+0+0-0-0-(-4)=43 p

II.1.b5 p

Arătați că A(a)⋅A(b)=A(a+b−3ab)A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab), pentru orice numere reale aa și bb.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(a)⋅A(b)=(1−2a−2b+4ab+2abb−2ab+a−ab02a−4ab+2b−2ab2ab+1−a−b+ab0001−3a−3b+9ab)=A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-2a-2b+4ab+2ab&b-2ab+a-ab&0\\2a-4ab+2b-2ab&2ab+1-a-b+ab&0\\0&0&1-3a-3b+9ab\end{pmatrix}=3 p
  2. =(1−2(a+b−3ab)a+b−3ab02(a+b−3ab)1−(a+b−3ab)0001−3(a+b−3ab))=A(a+b−3ab)=\begin{pmatrix}1-2(a+b-3ab)&a+b-3ab&0\\2(a+b-3ab)&1-(a+b-3ab)&0\\0&0&1-3(a+b-3ab)\end{pmatrix}=A(a+b-3ab), pentru orice numere reale aa și bb2 p

II.1.c5 p

Determinați numărul real aa pentru care A(1)⋅A(a)+A(5)=2A(4)A(1)\cdot A(a)+A(5)=2A(4).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1a=-1

Criterii (după barem)

  1. A(1)⋅A(a)=A(1−2a)A(1)\cdot A(a)=A(1-2a), 2A(4)−A(5)=A(3)2A(4)-A(5)=A(3)2 p
  2. A(1−2a)=A(3)A(1-2a)=A(3), de unde obținem 1−2a=31-2a=3, deci a=−1a=-13 p

II.2

Se consideră polinomul f=mX4−mX2+X+1f=mX^4-mX^2+X+1, unde mm este număr real nenul.

II.2.a5 p

Arătați că f(−1)=0f(-1)=0, pentru orice număr real nenul mm.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f(−1)=m(−1)4−m(−1)2+(−1)+1=f(-1)=m(-1)^4-m(-1)^2+(-1)+1=3 p
  2. =m−m−1+1=0=m-m-1+1=0, pentru orice număr real nenul mm2 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real nenul mm pentru care restul împărțirii polinomului ff la polinomul g=X+2g=X+2 este egal cu 1111.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=1m=1

Criterii (după barem)

  1. f(−2)=12m−1f(-2)=12m-1, pentru orice număr real nenul mm3 p
  2. 12m−1=1112m-1=11, de unde obținem m=1m=12 p

II.2.c5 p

Determinați numărul real nenul mm pentru care x13+x23+x33+x43=1x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=1, unde x1x_1, x2x_2, x3x_3 și x4x_4 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=−3m=-3

Criterii (după barem)

  1. x1+x2+x3+x4=0x_1+x_2+x_3+x_4=0, x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=−1mx_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\dfrac1m, x1x2x3x4=1m≠0x_1x_2x_3x_4=\dfrac1m\ne0, pentru orice număr real nenul mm3 p
  2. m(x13+x23+x33+x43)=m(x1+x2+x3+x4)−4−(1x1+1x2+1x3+1x4)m\left(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3\right)=m(x_1+x_2+x_3+x_4)-4-\left(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\dfrac1{x_3}+\dfrac1{x_4}\right), deci m=−3m=-32 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf:(-1,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=ex+2x+1x+1f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=xex+1(x+1)2f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}, x∈(−1,+∞)x\in(-1,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=(ex+2)(x+1)−(ex+2x+1)⋅1(x+1)2=f'(x)=\dfrac{\left(e^x+2\right)(x+1)-\left(e^x+2x+1\right)\cdot1}{(x+1)^2}=3 p
  2. =xex+ex+2x+2−ex−2x−1(x+1)2=xex+1(x+1)2=\dfrac{xe^x+e^x+2x+2-e^x-2x-1}{(x+1)^2}=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}, x∈(−1,+∞)x\in(-1,+\infty)2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x=0, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=x+2y=x+2

Criterii (după barem)

  1. f(0)=2f(0)=2, f′(0)=1f'(0)=12 p
  2. Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y-f(0)=f'(0)(x-0), adică y=x+2y=x+23 p

III.1.c5 p

Demonstrați că funcția ff este strict crescătoare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Considerând g:[−1,+∞)→Rg:[-1,+\infty)\to\mathbb R, g(x)=xex+1g(x)=xe^x+1, obținem g′(x)=(x+1)ex≥0g'(x)=(x+1)e^x\ge0, pentru orice x∈[−1,+∞)x\in[-1,+\infty), deci gg este crescătoare și, cum g(−1)=1−1e>0g(-1)=1-\dfrac1e>0, rezultă că g(x)>0g(x)>0, pentru orice x∈(−1,+∞)x\in(-1,+\infty)3 p
  2. Cum (x+1)2>0(x+1)^2>0, pentru orice x∈(−1,+∞)x\in(-1,+\infty), obținem că f′(x)>0f'(x)>0, pentru orice x∈(−1,+∞)x\in(-1,+\infty), deci ff este strict crescătoare2 p

III.2

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=6+1x+ln⁡2xxf(x)=6+\dfrac1x+\dfrac{\ln^2x}{x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫13(f(x)−ln⁡2xx)dx=12+ln⁡3\displaystyle\int_1^3\left(f(x)-\frac{\ln^2x}{x}\right)dx=12+\ln3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫13(f(x)−ln⁡2xx)dx=∫13(6+1x)dx=(6x+ln⁡x)∣13=\displaystyle\int_1^3\left(f(x)-\frac{\ln^2x}{x}\right)dx=\int_1^3\left(6+\frac1x\right)dx=\left.(6x+\ln x)\right|_1^3=3 p
  2. =18+ln⁡3−6−ln⁡1=12+ln⁡3=18+\ln3-6-\ln1=12+\ln32 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1e(f(x)−6−1x)dx=13\displaystyle\int_1^e\left(f(x)-6-\frac1x\right)dx=\frac13.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫1e(f(x)−6−1x)dx=∫1eln⁡2xx dx=∫1e(ln⁡x)′⋅ln⁡2x dx=ln⁡3x3∣1e=\displaystyle\int_1^e\left(f(x)-6-\frac1x\right)dx=\int_1^e\frac{\ln^2x}{x}\,dx=\int_1^e(\ln x)'\cdot\ln^2x\,dx=\left.\frac{\ln^3x}{3}\right|_1^e=3 p
  2. =ln⁡3e3−ln⁡313=13=\dfrac{\ln^3e}{3}-\dfrac{\ln^31}{3}=\dfrac132 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real mm pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg:(0,+\infty)\to\mathbb R, g(x)=f(x)−6xg(x)=\dfrac{f(x)-6}{x}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x=1 și x=ex=e este egală cu m(1−2e)m\left(1-\dfrac2e\right).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=3m=3

Criterii (după barem)

  1. g(x)=1x2+ln⁡2xx2g(x)=\dfrac1{x^2}+\dfrac{\ln^2x}{x^2}, x∈(0,+∞)⇒A=∫1e∣g(x)∣ dx=−1x∣1e−∫1e(1x)′ln⁡2x dx=x\in(0,+\infty)\Rightarrow\mathcal A=\displaystyle\int_1^e|g(x)|\,dx=-\left.\frac1x\right|_1^e-\int_1^e\left(\frac1x\right)'\ln^2x\,dx=2 p
  2. =−1e+1−1xln⁡2x∣1e−2x(1+ln⁡x)∣1e=3−6e=-\dfrac1e+1-\left.\dfrac1x\ln^2x\right|_1^e-\left.\dfrac2x(1+\ln x)\right|_1^e=3-\dfrac6e, deci m(1−2e)=3−6em\left(1-\dfrac2e\right)=3-\dfrac6e, de unde obținem m=3m=33 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M1.