Acasă Bacalaureat Matematică M1 Pe teme Polinoame, divizibilitate și rădăcini Polinoame, divizibilitate și rădăcini: Matematică M1 la Bacalaureat
27 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.2
Se consideră polinomul f = m X 4 − m X 2 + X + 1 f=mX^4-mX^2+X+1 f = m X 4 − m X 2 + X + 1 m m m
II.2.a 5 p Arătați că f ( − 1 ) = 0 f(-1)=0 f ( − 1 ) = 0 m m m
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( − 1 ) = m ( − 1 ) 4 − m ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) + 1 = f(-1)=m(-1)^4-m(-1)^2+(-1)+1= f ( − 1 ) = m ( − 1 ) 4 − m ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) + 1 = 3 p = m − m − 1 + 1 = 0 =m-m-1+1=0 = m − m − 1 + 1 = 0 m m m 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real nenul m m m f f f g = X + 2 g=X+2 g = X + 2 11 11 11
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 1 m=1 m = 1
Criterii (după barem) f ( − 2 ) = 12 m − 1 f(-2)=12m-1 f ( − 2 ) = 12 m − 1 m m m 3 p 12 m − 1 = 11 12m-1=11 12 m − 1 = 11 m = 1 m=1 m = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numărul real nenul m m m x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + x 4 3 = 1 x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=1 x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + x 4 3 = 1 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 4 x_4 x 4 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 3 m=-3 m = − 3
Criterii (după barem) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x_1+x_2+x_3+x_4=0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = − 1 m x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\dfrac1m x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = − m 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 m ≠ 0 x_1x_2x_3x_4=\dfrac1m\ne0 x 1 x 2 x 3 x 4 = m 1 = 0 m m m 3 p m ( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + x 4 3 ) = m ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) − 4 − ( 1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 + 1 x 4 ) m\left(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3\right)=m(x_1+x_2+x_3+x_4)-4-\left(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\dfrac1{x_3}+\dfrac1{x_4}\right) m ( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + x 4 3 ) = m ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) − 4 − ( x 1 1 + x 2 1 + x 3 1 + x 4 1 ) m = − 3 m=-3 m = − 3 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 4 − X 3 + a X 2 + b X − 6 f=X^4-X^3+aX^2+bX-6 f = X 4 − X 3 + a X 2 + b X − 6 a a a b b b
II.2.a 5 p Pentru a = 4 a=4 a = 4 b = 0 b=0 b = 0 f ( − 1 ) = 0 f(-1)=0 f ( − 1 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 4 − X 3 + 4 X 2 − 6 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 4 − ( − 1 ) 3 + 4 ( − 1 ) 2 − 6 = f=X^4-X^3+4X^2-6\Rightarrow f(-1)=(-1)^4-(-1)^3+4(-1)^2-6= f = X 4 − X 3 + 4 X 2 − 6 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 4 − ( − 1 ) 3 + 4 ( − 1 ) 2 − 6 = 3 p = 1 + 1 + 4 − 6 = 0 =1+1+4-6=0 = 1 + 1 + 4 − 6 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru a = b = 1 a=b=1 a = b = 1 f f f g = X 2 − X + 1 g=X^2-X+1 g = X 2 − X + 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: Câtul este X 2 X^2 X 2 X − 6 X-6 X − 6
Criterii (după barem) f = X 4 − X 3 + X 2 + X − 6 = ( X 2 − X + 1 ) X 2 + X − 6 f=X^4-X^3+X^2+X-6=\left(X^2-X+1\right)X^2+X-6 f = X 4 − X 3 + X 2 + X − 6 = ( X 2 − X + 1 ) X 2 + X − 6 X 2 X^2 X 2 3 p Restul este X − 6 X-6 X − 6 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile ( a , b ) (a,b) ( a , b ) f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) ( 5 , 1 ) (5,1) ( 5 , 1 )
Criterii (după barem) x 2 = − x 1 x_2=-x_1 x 2 = − x 1 f ( x 1 ) = f ( − x 1 ) = 0 f(x_1)=f(-x_1)=0 f ( x 1 ) = f ( − x 1 ) = 0 f ( x 1 ) + f ( − x 1 ) = 0 f(x_1)+f(-x_1)=0 f ( x 1 ) + f ( − x 1 ) = 0 f ( x 1 ) − f ( − x 1 ) = 0 f(x_1)-f(-x_1)=0 f ( x 1 ) − f ( − x 1 ) = 0 x 1 4 + a x 1 2 − 6 = 0 x_1^4+ax_1^2-6=0 x 1 4 + a x 1 2 − 6 = 0 x 1 3 − b x 1 = 0 x_1^3-bx_1=0 x 1 3 − b x 1 = 0 2 p Cum x 1 ≠ 0 x_1\ne0 x 1 = 0 b = x 1 2 b=x_1^2 b = x 1 2 b ( a + b ) = 6 b(a+b)=6 b ( a + b ) = 6 a a a b b b ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) ( 5 , 1 ) (5,1) ( 5 , 1 ) 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 + X 2 + a X + 8 f=X^3+X^2+aX+8 f = X 3 + X 2 + a X + 8 a a a
II.2.a 5 p Arătați că f ( 0 ) = 8 f(0)=8 f ( 0 ) = 8 a a a
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( 0 ) = 0 3 + 0 2 + a ⋅ 0 + 8 = f(0)=0^3+0^2+a\cdot0+8= f ( 0 ) = 0 3 + 0 2 + a ⋅ 0 + 8 = 3 p = 0 + 0 + 0 + 8 = 8 =0+0+0+8=8 = 0 + 0 + 0 + 8 = 8 a a a 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real a a a f f f g = X + 2 g=X+2 g = X + 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) f ( − 2 ) = 4 − 2 a f(-2)=4-2a f ( − 2 ) = 4 − 2 a a a a 3 p 4 − 2 a = 0 4-2a=0 4 − 2 a = 0 a = 2 a=2 a = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numărul real a a a f f f 2 2 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 10 a=-10 a = − 10
Criterii (după barem) Pentru x 2 x 1 = 2 \dfrac{x_2}{x_1}=2 x 1 x 2 = 2 x 1 + x 2 + x 3 = − 1 x_1+x_2+x_3=-1 x 1 + x 2 + x 3 = − 1 x 1 x 2 x 3 = − 8 x_1x_2x_3=-8 x 1 x 2 x 3 = − 8 3 x 1 3 + x 1 2 − 4 = 0 3x_1^3+x_1^2-4=0 3 x 1 3 + x 1 2 − 4 = 0 3 p ( x 1 − 1 ) ( 3 x 1 2 + 4 x 1 + 4 ) = 0 (x_1-1)\left(3x_1^2+4x_1+4\right)=0 ( x 1 − 1 ) ( 3 x 1 2 + 4 x 1 + 4 ) = 0 f f f 3 3 3 x 2 = 2 x 1 x_2=2x_1 x 2 = 2 x 1 x 1 x_1 x 1 x 1 = 1 x_1=1 x 1 = 1 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 a = − 10 a=-10 a = − 10 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Fie f = a X 3 + 3 X 2 − a X − 6 f=aX^3+3X^2-aX-6 f = a X 3 + 3 X 2 − a X − 6 a ∈ R ∗ a\in\mathbb R^* a ∈ R ∗
II.2.a 5 p Arătați că f ( 1 ) = − 3 f(1)=-3 f ( 1 ) = − 3 a ∈ R ∗ a\in\mathbb R^* a ∈ R ∗
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea lui 1 în polinom. 3 p Reducerea termenilor și rezultatul − 3 -3 − 3 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru a = 1 a=1 a = 1 f f f g = X 2 + 3 X − 1 g=X^2+3X-1 g = X 2 + 3 X − 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: q = X q=X q = X r = − 6 r=-6 r = − 6
Criterii (după barem) Scrierea f = X g − 6 f=Xg-6 f = X g − 6 X X X 3 p Restul − 6 -6 − 6 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați a ∈ R ∗ a\in\mathbb R^* a ∈ R ∗ ( 1 + x 1 ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 3 ) = 1 (1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)=1 ( 1 + x 1 ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 3 ) = 1 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x 1 , x 2 , x 3 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) Produsul rădăcinilor deplasate exprimat ca − f ( − 1 ) / a -f(-1)/a − f ( − 1 ) / a 3 p Folosirea condiției și obținerea lui a = 3 a=3 a = 3 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + m f=X^4-3X^3+X^2-2X+m f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + m m m m
II.2.a 5 p Pentru m = 3 m=3 m = 3 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + 3 ⇒ f ( 1 ) = 1 4 − 3 ⋅ 1 3 + 1 2 − 2 ⋅ 1 + 3 = f=X^4-3X^3+X^2-2X+3\Rightarrow f(1)=1^4-3\cdot1^3+1^2-2\cdot1+3= f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + 3 ⇒ f ( 1 ) = 1 4 − 3 ⋅ 1 3 + 1 2 − 2 ⋅ 1 + 3 = 3 p = 1 − 3 + 1 − 2 + 3 = 0 =1-3+1-2+3=0 = 1 − 3 + 1 − 2 + 3 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numerele reale m m m ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 1 (x_1x_2x_3x_4)^2-x_1-x_2-x_3-x_4=1 ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 4 x_4 x 4 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 2 m=-2 m = − 2 m = 2 m=2 m = 2
Criterii (după barem) x 1 x 2 x 3 x 4 = m x_1x_2x_3x_4=m x 1 x 2 x 3 x 4 = m x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 ⇒ ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = m 2 − 3 x_1+x_2+x_3+x_4=3\Rightarrow(x_1x_2x_3x_4)^2-x_1-x_2-x_3-x_4=m^2-3 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 ⇒ ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = m 2 − 3 m m m 3 p m 2 − 3 = 1 m^2-3=1 m 2 − 3 = 1 m 2 − 4 = 0 m^2-4=0 m 2 − 4 = 0 m = − 2 m=-2 m = − 2 m = 2 m=2 m = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Pentru m = 0 m=0 m = 0 a a a f f f X − a X-a X − a a a a
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 0 a=0 a = 0 a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X f=X^4-3X^3+X^2-2X f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X f ( a ) = a f(a)=a f ( a ) = a a 4 − 3 a 3 + a 2 − 3 a = 0 a^4-3a^3+a^2-3a=0 a 4 − 3 a 3 + a 2 − 3 a = 0 3 p a ( a − 3 ) ( a 2 + 1 ) = 0 a(a-3)\left(a^2+1\right)=0 a ( a − 3 ) ( a 2 + 1 ) = 0 a a a a = 0 a=0 a = 0 a = 3 a=3 a = 3 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Fie f = X 3 − 2 X 2 − a X + 2 a f=X^3-2X^2-aX+2a f = X 3 − 2 X 2 − a X + 2 a a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.2.a 5 p Arătați că f ( 2 ) = 0 f(2)=0 f ( 2 ) = 0 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea lui 2 în polinom. 3 p Reducerea termenilor și f ( 2 ) = 0 f(2)=0 f ( 2 ) = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru a = 1 a=1 a = 1 f f f g = X + 1 g=X+1 g = X + 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calcularea lui f ( − 1 ) f(-1) f ( − 1 ) a = 1 a=1 a = 1 3 p Valoarea 0 și concluzia de divizibilitate. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați a > 0 a>0 a > 0 ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ∣ x 3 ∣ = 8 |x_1|+|x_2|+|x_3|=8 ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ∣ x 3 ∣ = 8 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x 1 , x 2 , x 3 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 9 a=9 a = 9
Criterii (după barem) Factorizarea și suma modulelor 2 + 2 a 2+2\sqrt a 2 + 2 a 3 p Ecuația și soluția a = 9 a=9 a = 9 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 + a X 2 + X + 2 − a f=X^3+aX^2+X+2-a f = X 3 + a X 2 + X + 2 − a a a a
II.2.a 5 p Arătați că f ( 1 ) = 4 f(1)=4 f ( 1 ) = 4 a a a
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( 1 ) = 1 3 + a ⋅ 1 2 + 1 + 2 − a = f(1)=1^3+a\cdot1^2+1+2-a= f ( 1 ) = 1 3 + a ⋅ 1 2 + 1 + 2 − a = 3 p = 1 + a + 1 + 2 − a = 4 =1+a+1+2-a=4 = 1 + a + 1 + 2 − a = 4 a a a 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru a = 2 a=2 a = 2 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x 1 = x 2 = − 1 x_1=x_2=-1 x 1 = x 2 = − 1 x 3 = 0 x_3=0 x 3 = 0
Criterii (după barem) f = X 3 + 2 X 2 + X = X ( X 2 + 2 X + 1 ) f=X^3+2X^2+X=X\left(X^2+2X+1\right) f = X 3 + 2 X 2 + X = X ( X 2 + 2 X + 1 ) 2 p Rădăcinile polinomului sunt x 1 = x 2 = − 1 x_1=x_2=-1 x 1 = x 2 = − 1 x 3 = 0 x_3=0 x 3 = 0 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.