Bacalaureat 2024 la matematică M1: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial M1, sesiunea a doua (august) 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n\ge1}$ , cu $a_2=14$ și $a_3=18$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a_1=10$

Criterii (după barem)

$a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}\Rightarrow14=\dfrac{a_1+18}{2}$ 3 p
$a_1=10$ 2 p

I.25 p

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x+2$ . Arătați că $(f\circ f)(5)=9$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f(5)=7$ 2 p
$(f\circ f)(5)=f\big(f(5)\big)=f(7)=9$ 3 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2+2x+1}=\sqrt[3]{1-x}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=-3$ sau $x=0$

Criterii (după barem)

$x^2+2x+1=1-x$ , de unde obținem $x^2+3x=0$ 3 p
$x=-3$ sau $x=0$ 2 p

I.45 p

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,7,9\}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $16$

Criterii (după barem)

Cifra unităților se poate alege în $4$ moduri2 p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte $4$ moduri, deci se pot forma $4\cdot4=16$ numere3 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,1)$ . Determinați coordonatele punctului $B$ pentru care $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OA}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $B(6,3)$

Criterii (după barem)

$\overrightarrow{OA}=2\vec i+\vec j$ , $\overrightarrow{AB}=(x_B-2)\vec i+(y_B-1)\vec j$ , unde $B(x_B,y_B)$ 3 p
$(x_B-2)\vec i+(y_B-1)\vec j=4\vec i+2\vec j$ , de unde obținem $x_B=6$ și $y_B=3$ 2 p

I.65 p

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $BC=12$ și $AB=\dfrac{BC}{2}$ . Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$AB=6$ , $AC=6\sqrt3$ 2 p
$\mathcal A_{\triangle ABC}=\dfrac{6\cdot6\sqrt3}{2}=18\sqrt3$ 3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ și $B(x)=\begin{pmatrix}2^x&0&0\\0&1&x\\0&x&1\end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că $\det\big(B(1)\big)=0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$B(1)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(B(1)\big)=\begin{vmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=$ 2 p
$=2+0+0-0-2-0=0$ 3 p

II.1.b5 p

Arătați că $B(x)\cdot B(y)-B(x+y)=xyA$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$B(x)\cdot B(y)-B(x+y)=\begin{pmatrix}2^{x+y}&0&0\\0&1+xy&y+x\\0&x+y&xy+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2^{x+y}&0&0\\0&1&x+y\\0&x+y&1\end{pmatrix}=$ 3 p
$=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&xy&0\\0&0&xy\end{pmatrix}=xyA$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ 2 p

II.1.c5 p

Determinați numerele reale $x$ pentru care $B(x)\cdot B(x+1)-B(2x)\cdot B(1)=xA$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=0$ sau $x=2$

Criterii (după barem)

$B(x)\cdot B(x+1)=B(2x+1)+\left(x^2+x\right)A$ , $B(2x)\cdot B(1)=B(2x+1)+2xA$ , de unde obținem $B(x)\cdot B(x+1)-B(2x)\cdot B(1)=\left(x^2-x\right)A$ , pentru orice număr real $x$ 3 p
$\left(x^2-x\right)A=xA$ , de unde obținem $x=0$ sau $x=2$ 2 p

II.2

Se consideră polinomul $f=X^3+aX^2+X+2-a$ , unde $a$ este număr real.

II.2.a5 p

Arătați că $f(1)=4$ , pentru orice număr real $a$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f(1)=1^3+a\cdot1^2+1+2-a=$ 3 p
$=1+a+1+2-a=4$ , pentru orice număr real $a$ 2 p

II.2.b5 p

Pentru $a=2$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x_1=x_2=-1$ și $x_3=0$

Criterii (după barem)

$f=X^3+2X^2+X=X\left(X^2+2X+1\right)$ 2 p
Rădăcinile polinomului sunt $x_1=x_2=-1$ și $x_3=0$ 3 p

II.2.c5 p

Determinați numărul real $a$ pentru care $\left(x_1-x_1^2\right)\left(x_2-x_2^2\right)\left(x_3-x_3^2\right)=4$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=3$

Criterii (după barem)

$x_1x_2x_3=-2+a$ , $\left(x_1-x_1^2\right)\left(x_2-x_2^2\right)\left(x_3-x_3^2\right)=x_1x_2x_3(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=(-2+a)f(1)$ 3 p
$4(-2+a)=4$ , de unde obținem $a=3$ 2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=\left(x^2-2\right)e^{2x}$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f'(x)=2e^{2x}\left(x^2+x-2\right)$ , $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f'(x)=\left(x^2-2\right)'e^{2x}+\left(x^2-2\right)\left(e^{2x}\right)'=$ 2 p
$=2xe^{2x}+\left(x^2-2\right)\cdot2e^{2x}=2e^{2x}\left(x^2+x-2\right)$ , $x\in\mathbb R$ 3 p

III.1.b5 p

Calculați $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac12$

Criterii (după barem)

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-2}{2\left(x^2+x-2\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac2{x^2}\right)}{2x^2\left(1+\frac1x-\frac2{x^2}\right)}=$ 3 p
$\displaystyle=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac2{x^2}}{2\left(1+\frac1x-\frac2{x^2}\right)}=\frac12$ 2 p

III.1.c5 p

Determinați imaginea funcției $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\left[-e^2,+\infty\right)$

Criterii (după barem)

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2$ sau $x=1$ ; pentru orice $x\in(-\infty,-2]$ , $f'(x)\ge0$ , deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty,-2]$ ; pentru orice $x\in[-2,1]$ , $f'(x)\le0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[-2,1]$ și pentru orice $x\in[1,+\infty)$ , $f'(x)\ge0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[1,+\infty)$ 3 p
Cum $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , $f(1)=-e^2$ și $f$ este continuă, imaginea funcției $f$ este $\left[-e^2,+\infty\right)$ 2 p

III.2

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x^4+6x^2+1$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\displaystyle\int_{-1}^1\left(f(x)-6x^2\right)dx=\frac{12}{5}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\displaystyle\int_{-1}^1\left(f(x)-6x^2\right)dx=\int_{-1}^1\left(x^4+1\right)dx=\left.\left(\frac{x^5}{5}+x\right)\right|_{-1}^1=$ 3 p
$=\dfrac15+1+\dfrac15+1=\dfrac{12}{5}$ 2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\displaystyle\int_1^6\frac{x^3}{f(x)-1}\,dx=\frac{\ln6}{2}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\displaystyle\int_1^6\frac{x^3}{f(x)-1}\,dx=\int_1^6\frac{x}{x^2+6}\,dx=\frac12\int_1^6\frac{\left(x^2+6\right)'}{x^2+6}\,dx=\left.\frac12\ln\left(x^2+6\right)\right|_1^6=$ 3 p
$=\dfrac{\ln42}{2}-\dfrac{\ln7}{2}=\dfrac{\ln6}{2}$ 2 p

III.2.c5 p

Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1{x^3}\int_0^x\big(f(2t)-f(t)\big)\,dt\right)=6$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1{x^3}\int_0^x\big(f(2t)-f(t)\big)\,dt\right)=\lim_{x\to0}\frac{\left(\int_0^x\big(f(2t)-f(t)\big)\,dt\right)'}{\left(x^3\right)'}=\lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(x)}{3x^2}=$ 3 p
$\displaystyle=\lim_{x\to0}\frac{15x^4+18x^2}{3x^2}=\lim_{x\to0}\left(5x^2+6\right)=6$ 2 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M1.

Bacalaureat 2024 la matematică M1: sesiunea a doua (august)

Subiectul I 30 p

I.15 p

Criterii (după barem)

I.25 p

Criterii (după barem)

I.35 p

Criterii (după barem)

I.45 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.65 p

Criterii (după barem)

Subiectul al II-lea 30 p

II.1.a5 p

Criterii (după barem)

II.1.b5 p

Criterii (după barem)

II.1.c5 p

Criterii (după barem)

II.2.a5 p

Criterii (după barem)

II.2.b5 p

Criterii (după barem)

II.2.c5 p

Criterii (după barem)

Subiectul al III-lea 30 p

III.1.a5 p

Criterii (după barem)

III.1.b5 p

Criterii (după barem)

III.1.c5 p

Criterii (după barem)

III.2.a5 p

Criterii (după barem)

III.2.b5 p

Criterii (după barem)

III.2.c5 p

Criterii (după barem)

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?