Acasă Bacalaureat Matematică M1 2025 sesiunea a doua (august) Bacalaureat 2025 la matematică M1: sesiunea a doua (august)
Subiectul oficial M1, sesiunea a doua (august) 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați că 3 ( 4 − 5 i ) + 5 i ( 3 + 2 i ) = 2 3(4-5i)+5i(3+2i)=2 3 ( 4 − 5 i ) + 5 i ( 3 + 2 i ) = 2 i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 3 ( 4 − 5 i ) + 5 i ( 3 + 2 i ) = 12 − 15 i + 15 i + 10 i 2 = 3(4-5i)+5i(3+2i)=12-15i+15i+10i^2= 3 ( 4 − 5 i ) + 5 i ( 3 + 2 i ) = 12 − 15 i + 15 i + 10 i 2 = 3 p = 12 − 10 = 2 =12-10=2 = 12 − 10 = 2 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Se consideră funcțiile f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x + 4 f(x)=x+4 f ( x ) = x + 4 g : R → R g:\mathbb R\to\mathbb R g : R → R g ( x ) = 2 x + a g(x)=2x+a g ( x ) = 2 x + a a a a a a a ( g ∘ f ) ( 1 ) = 1 (g\circ f)(1)=1 ( g ∘ f ) ( 1 ) = 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 9 a=-9 a = − 9
Criterii (după barem) f ( 1 ) = 5 f(1)=5 f ( 1 ) = 5 ( g ∘ f ) ( 1 ) = g ( 5 ) = 10 + a (g\circ f)(1)=g(5)=10+a ( g ∘ f ) ( 1 ) = g ( 5 ) = 10 + a a a a 3 p 10 + a = 1 10+a=1 10 + a = 1 a = − 9 a=-9 a = − 9 2 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 ( 6 x − x 2 ) = log 2 ( 4 + x ) \log_2\left(6x-x^2\right)=\log_2(4+x) log 2 ( 6 x − x 2 ) = log 2 ( 4 + x )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1 x = 4 x=4 x = 4
Criterii (după barem) 6 x − x 2 = 4 + x 6x-x^2=4+x 6 x − x 2 = 4 + x x 2 − 5 x + 4 = 0 x^2-5x+4=0 x 2 − 5 x + 4 = 0 2 p x = 1 x=1 x = 1 x = 4 x=4 x = 4 3 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Se consideră mulțimea A = { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } A=\{3,4,5,7,9\} A = { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } A A A
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
16 16 16
Verifică-te pe barem Răspuns: 16 16 16
Criterii (după barem) Cifra unităților se poate alege în 4 4 4 2 p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 4 4 4 ⋅ 4 = 16 4\cdot4=16 4 ⋅ 4 = 16 3 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 0 , 2 ) A(0,2) A ( 0 , 2 ) B ( 6 , 4 ) B(6,4) B ( 6 , 4 ) C C C 2 A C → = O B → 2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB} 2 A C = OB
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x C = 3 x_C=3 x C = 3 y C = 4 y_C=4 y C = 4
Criterii (după barem) O B → = 6 i ⃗ + 4 j ⃗ \overrightarrow{OB}=6\vec i+4\vec j OB = 6 i + 4 j A C → = x C i ⃗ + ( y C − 2 ) j ⃗ \overrightarrow{AC}=x_C\vec i+(y_C-2)\vec j A C = x C i + ( y C − 2 ) j 2 p 2 x C i ⃗ + 2 ( y C − 2 ) j ⃗ = 6 i ⃗ + 4 j ⃗ 2x_C\vec i+2(y_C-2)\vec j=6\vec i+4\vec j 2 x C i + 2 ( y C − 2 ) j = 6 i + 4 j x C = 3 x_C=3 x C = 3 y C = 4 y_C=4 y C = 4 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 4 AB=4 A B = 4 4 4 4 A B C ABC A BC 8 3 8\sqrt3 8 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) B C = 8 BC=8 BC = 8 A C = 4 3 AC=4\sqrt3 A C = 4 3 3 p A △ A B C = 4 ⋅ 4 3 2 = 8 3 \mathcal A_{\triangle ABC}=\dfrac{4\cdot4\sqrt3}{2}=8\sqrt3 A △ A BC = 2 4 ⋅ 4 3 = 8 3 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( a 1 2 a a 1 0 1 1 − a ) A(a)=\begin{pmatrix}a&1&2a\\a&1&0\\1&1&-a\end{pmatrix} A ( a ) = a a 1 1 1 1 2 a 0 − a { a x + y + 2 a z = a + 1 a x + y = 0 x + y − a z = − 1 \begin{cases}ax+y+2az=a+1\\ax+y=0\\x+y-az=-1\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x + y + 2 a z = a + 1 a x + y = 0 x + y − a z = − 1 a a a
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 4 \det\big(A(2)\big)=4 det ( A ( 2 ) ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 2 ) = ( 2 1 4 2 1 0 1 1 − 2 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 2 1 4 2 1 0 1 1 − 2 ∣ = A(2)=\begin{pmatrix}2&1&4\\2&1&0\\1&1&-2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(2)\big)=\begin{vmatrix}2&1&4\\2&1&0\\1&1&-2\end{vmatrix}= A ( 2 ) = 2 2 1 1 1 1 4 0 − 2 ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 2 2 1 1 1 1 4 0 − 2 = 2 p = − 4 + 8 + 0 − 4 − 0 + 4 = 4 =-4+8+0-4-0+4=4 = − 4 + 8 + 0 − 4 − 0 + 4 = 4 3 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Pentru a = 1 a=1 a = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) a = 1 ⇒ { x + y + 2 z = 2 x + y = 0 x + y − z = − 1 a=1\Rightarrow\begin{cases}x+y+2z=2\\x+y=0\\x+y-z=-1\end{cases} a = 1 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z = 2 x + y = 0 x + y − z = − 1 ∣ 1 1 2 1 1 0 1 1 − 1 ∣ = 0 \begin{vmatrix}1&1&2\\1&1&0\\1&1&-1\end{vmatrix}=0 1 1 1 1 1 1 2 0 − 1 = 0 2 p ∣ 1 0 1 − 1 ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}\ne0 1 1 0 − 1 = 0 ∣ 1 2 2 1 0 0 1 − 1 − 1 ∣ = 0 \begin{vmatrix}1&2&2\\1&0&0\\1&-1&-1\end{vmatrix}=0 1 1 1 2 0 − 1 2 0 − 1 = 0 3 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numărul real a a a ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) x 0 = a x_0=a x 0 = a
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 1 2 a=-\dfrac12 a = − 2 1
Criterii (după barem) det ( A ( a ) ) = ∣ a 1 2 a a 1 0 1 1 − a ∣ = 2 a 2 − 2 a \det\big(A(a)\big)=\begin{vmatrix}a&1&2a\\a&1&0\\1&1&-a\end{vmatrix}=2a^2-2a det ( A ( a ) ) = a a 1 1 1 1 2 a 0 − a = 2 a 2 − 2 a a a a a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a\in\mathbb R\setminus\{0,1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } 2 p Obținem x 0 = − 1 2 x_0=-\dfrac12 x 0 = − 2 1 a = − 1 2 a=-\dfrac12 a = − 2 1 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + m f=X^4-3X^3+X^2-2X+m f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + m m m m
II.2.a 5 p Pentru m = 3 m=3 m = 3 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + 3 ⇒ f ( 1 ) = 1 4 − 3 ⋅ 1 3 + 1 2 − 2 ⋅ 1 + 3 = f=X^4-3X^3+X^2-2X+3\Rightarrow f(1)=1^4-3\cdot1^3+1^2-2\cdot1+3= f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + 3 ⇒ f ( 1 ) = 1 4 − 3 ⋅ 1 3 + 1 2 − 2 ⋅ 1 + 3 = 3 p = 1 − 3 + 1 − 2 + 3 = 0 =1-3+1-2+3=0 = 1 − 3 + 1 − 2 + 3 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numerele reale m m m ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 1 (x_1x_2x_3x_4)^2-x_1-x_2-x_3-x_4=1 ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 4 x_4 x 4 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 2 m=-2 m = − 2 m = 2 m=2 m = 2
Criterii (după barem) x 1 x 2 x 3 x 4 = m x_1x_2x_3x_4=m x 1 x 2 x 3 x 4 = m x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 ⇒ ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = m 2 − 3 x_1+x_2+x_3+x_4=3\Rightarrow(x_1x_2x_3x_4)^2-x_1-x_2-x_3-x_4=m^2-3 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 ⇒ ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = m 2 − 3 m m m 3 p m 2 − 3 = 1 m^2-3=1 m 2 − 3 = 1 m 2 − 4 = 0 m^2-4=0 m 2 − 4 = 0 m = − 2 m=-2 m = − 2 m = 2 m=2 m = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Pentru m = 0 m=0 m = 0 a a a f f f X − a X-a X − a a a a
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 0 a=0 a = 0 a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X f=X^4-3X^3+X^2-2X f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X f ( a ) = a f(a)=a f ( a ) = a a 4 − 3 a 3 + a 2 − 3 a = 0 a^4-3a^3+a^2-3a=0 a 4 − 3 a 3 + a 2 − 3 a = 0 3 p a ( a − 3 ) ( a 2 + 1 ) = 0 a(a-3)\left(a^2+1\right)=0 a ( a − 3 ) ( a 2 + 1 ) = 0 a a a a = 0 a=0 a = 0 a = 3 a=3 a = 3 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x 2 + 6 x 2 + 1 f(x)=\dfrac{x^2+6}{\sqrt{x^2+1}} f ( x ) = x 2 + 1 x 2 + 6
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = x ( x 2 − 4 ) ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 f'(x)=\dfrac{x\left(x^2-4\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}} f ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 x ( x 2 − 4 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 2 x x 2 + 1 − ( x 2 + 6 ) ⋅ 2 x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 = f'(x)=\dfrac{2x\sqrt{x^2+1}-\left(x^2+6\right)\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}= f ′ ( x ) = x 2 + 1 2 x x 2 + 1 − ( x 2 + 6 ) ⋅ 2 x 2 + 1 2 x = 3 p = 2 x 3 + 2 x − x 3 − 6 x ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 = x ( x 2 − 4 ) ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 =\dfrac{2x^3+2x-x^3-6x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x\left(x^2-4\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}} = ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 2 x 3 + 2 x − x 3 − 6 x = ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 x ( x 2 − 4 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 0 x=0 x = 0 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 6 y=6 y = 6
Criterii (după barem) f ( 0 ) = 6 f(0)=6 f ( 0 ) = 6 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 2 p Ecuația tangentei este y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y-f(0)=f'(0)(x-0) y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = 6 y=6 y = 6 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Arătați că f ( 7 x ) − f ( x ) ≤ 2 2 f(7x)-f(x)\le2\sqrt2 f ( 7 x ) − f ( x ) ≤ 2 2 x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x ∈ [ 0 , 1 ]
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pentru orice x ∈ [ 0 , 2 ] x\in[0,2] x ∈ [ 0 , 2 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ 0 , 2 ] [0,2] [ 0 , 2 ] x ∈ [ 2 , + ∞ ) x\in[2,+\infty) x ∈ [ 2 , + ∞ ) f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 2 , + ∞ ) [2,+\infty) [ 2 , + ∞ ) 2 p x ∈ [ 0 , 1 ] ⇒ 7 x ∈ [ 0 , 7 ] x\in[0,1]\Rightarrow7x\in[0,7] x ∈ [ 0 , 1 ] ⇒ 7 x ∈ [ 0 , 7 ] f ( 0 ) = 6 f(0)=6 f ( 0 ) = 6 f ( 1 ) = 7 2 f(1)=\dfrac{7}{\sqrt2} f ( 1 ) = 2 7 f ( 7 ) = 11 2 f(7)=\dfrac{11}{\sqrt2} f ( 7 ) = 2 11 7 2 ≤ f ( x ) \dfrac{7}{\sqrt2}\le f(x) 2 7 ≤ f ( x ) f ( 7 x ) ≤ 11 2 f(7x)\le\dfrac{11}{\sqrt2} f ( 7 x ) ≤ 2 11 f ( 7 x ) − f ( x ) ≤ 2 2 f(7x)-f(x)\le2\sqrt2 f ( 7 x ) − f ( x ) ≤ 2 2 x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x ∈ [ 0 , 1 ] 3 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 3 x 2 − 1 + e 2 x f(x)=3x^2-1+e^{2x} f ( x ) = 3 x 2 − 1 + e 2 x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 3 ( f ( x ) − e 2 x ) d x = 24 \displaystyle\int_0^3\left(f(x)-e^{2x}\right)dx=24 ∫ 0 3 ( f ( x ) − e 2 x ) d x = 24
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 3 ( f ( x ) − e 2 x ) d x = ∫ 0 3 ( 3 x 2 − 1 ) d x = ( x 3 − x ) ∣ 0 3 = \displaystyle\int_0^3\left(f(x)-e^{2x}\right)dx=\int_0^3\left(3x^2-1\right)dx=\left.\left(x^3-x\right)\right|_0^3= ∫ 0 3 ( f ( x ) − e 2 x ) d x = ∫ 0 3 ( 3 x 2 − 1 ) d x = ( x 3 − x ) 0 3 = 3 p = 24 − 0 = 24 =24-0=24 = 24 − 0 = 24 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 0 1 4 x ( f ( x ) − 3 x 2 + 1 ) d x = e 2 + 1 \displaystyle\int_0^14x\left(f(x)-3x^2+1\right)dx=e^2+1 ∫ 0 1 4 x ( f ( x ) − 3 x 2 + 1 ) d x = e 2 + 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 1 4 x ( f ( x ) − 3 x 2 + 1 ) d x = ∫ 0 1 2 x ( e 2 x ) ′ d x = 2 x e 2 x ∣ 0 1 − e 2 x ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^14x\left(f(x)-3x^2+1\right)dx=\int_0^12x\left(e^{2x}\right)'dx=\left.2xe^{2x}\right|_0^1-\left.e^{2x}\right|_0^1= ∫ 0 1 4 x ( f ( x ) − 3 x 2 + 1 ) d x = ∫ 0 1 2 x ( e 2 x ) ′ d x = 2 x e 2 x 0 1 − e 2 x 0 1 = 3 p = 2 e 2 − e 2 + 1 = e 2 + 1 =2e^2-e^2+1=e^2+1 = 2 e 2 − e 2 + 1 = e 2 + 1 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Demonstrați că lim x → 0 1 x 2 ∫ 0 x f ( t ) t + 1 d t = 1 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}\,dt=1 x → 0 lim x 2 1 ∫ 0 x t + 1 f ( t ) d t = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → 0 1 x 2 ∫ 0 x f ( t ) t + 1 d t = lim x → 0 ( ∫ 0 x f ( t ) t + 1 d t ) ′ ( x 2 ) ′ = lim x → 0 f ( x ) 2 x ( x + 1 ) = \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}\,dt=\lim_{x\to0}\frac{\left(\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}\,dt\right)'}{\left(x^2\right)'}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2x(x+1)}= x → 0 lim x 2 1 ∫ 0 x t + 1 f ( t ) d t = x → 0 lim ( x 2 ) ′ ( ∫ 0 x t + 1 f ( t ) d t ) ′ = x → 0 lim 2 x ( x + 1 ) f ( x ) = 3 p = lim x → 0 f ′ ( x ) 4 x + 2 = lim x → 0 6 x + 2 e 2 x 4 x + 2 = 1 =\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{4x+2}=\lim_{x\to0}\frac{6x+2e^{2x}}{4x+2}=1 = x → 0 lim 4 x + 2 f ′ ( x ) = x → 0 lim 4 x + 2 6 x + 2 e 2 x = 1 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.