Acasă Bacalaureat Matematică M1 Pe teme Primitive și integrale definite Primitive și integrale definite: Matematică M1 la Bacalaureat
77 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x 2 − 2 + x 2 + 4 f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4} f ( x ) = x 2 − 2 + x 2 + 4
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 3 ( f ( x ) − x 2 + 4 ) d x = 3 \int_0^3(f(x)-\sqrt{x^2+4})\,dx=3 ∫ 0 3 ( f ( x ) − x 2 + 4 ) d x = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea și calculul primitivei. 3 p Evaluarea egală cu 3. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 0 5 x f ( x ) − x 2 + 2 d x = 1 \int_0^{\sqrt5}\dfrac{x}{f(x)-x^2+2}\,dx=1 ∫ 0 5 f ( x ) − x 2 + 2 x d x = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Simplificarea și primitiva radical. 3 p Evaluarea 3-2=1. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Demonstrați că lim x → 0 1 x 2 ∫ 0 x F ( t ) d t = 0 \lim_{x\to0}\dfrac1{x^2}\int_0^xF(t)\,dt=0 lim x → 0 x 2 1 ∫ 0 x F ( t ) d t = 0 F F F f f f F ( 0 ) = 0 F(0)=0 F ( 0 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Două aplicări justificate ale regulii lui l'Hospital. 3 p Limita f(x)/2=f(0)/2=0. 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( 4 x + 6 x 2 ) ln x f(x)=\left(4x+\dfrac6{x^2}\right)\ln x f ( x ) = ( 4 x + x 2 6 ) ln x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 2 3 f ( x ) ln x d x = 11 \int_2^3\dfrac{f(x)}{\ln x}\,dx=11 ∫ 2 3 ln x f ( x ) d x = 11
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea integrandului și primitiva. 3 p Evaluarea 11. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 e x ( f ( x ) − 4 x ln x ) d x = 3 \int_1^e x(f(x)-4x\ln x)\,dx=3 ∫ 1 e x ( f ( x ) − 4 x ln x ) d x = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea și primitiva 3 ln^2 x. 3 p Evaluarea 3. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați primitiva F : ( 0 , + ∞ ) → R F:(0,+\infty)\to\mathbb R F : ( 0 , + ∞ ) → R
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: F ( x ) = ( 2 x 2 − 6 x ) ln x − x 2 − 6 x + 7 F(x)=\left(2x^2-\dfrac6x\right)\ln x-x^2-\dfrac6x+7 F ( x ) = ( 2 x 2 − x 6 ) ln x − x 2 − x 6 + 7
Criterii (după barem) Condițiile de tangență și abscisa a=1. 2 p Integrarea și formula primitivei cu constanta 7. 3 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 6 + 1 x + ln 2 x x f(x)=6+\dfrac1x+\dfrac{\ln^2x}{x} f ( x ) = 6 + x 1 + x ln 2 x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 1 3 ( f ( x ) − ln 2 x x ) d x = 12 + ln 3 \displaystyle\int_1^3\left(f(x)-\frac{\ln^2x}{x}\right)dx=12+\ln3 ∫ 1 3 ( f ( x ) − x ln 2 x ) d x = 12 + ln 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 3 ( f ( x ) − ln 2 x x ) d x = ∫ 1 3 ( 6 + 1 x ) d x = ( 6 x + ln x ) ∣ 1 3 = \displaystyle\int_1^3\left(f(x)-\frac{\ln^2x}{x}\right)dx=\int_1^3\left(6+\frac1x\right)dx=\left.(6x+\ln x)\right|_1^3= ∫ 1 3 ( f ( x ) − x ln 2 x ) d x = ∫ 1 3 ( 6 + x 1 ) d x = ( 6 x + ln x ) ∣ 1 3 = 3 p = 18 + ln 3 − 6 − ln 1 = 12 + ln 3 =18+\ln3-6-\ln1=12+\ln3 = 18 + ln 3 − 6 − ln 1 = 12 + ln 3 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 e ( f ( x ) − 6 − 1 x ) d x = 1 3 \displaystyle\int_1^e\left(f(x)-6-\frac1x\right)dx=\frac13 ∫ 1 e ( f ( x ) − 6 − x 1 ) d x = 3 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 e ( f ( x ) − 6 − 1 x ) d x = ∫ 1 e ln 2 x x d x = ∫ 1 e ( ln x ) ′ ⋅ ln 2 x d x = ln 3 x 3 ∣ 1 e = \displaystyle\int_1^e\left(f(x)-6-\frac1x\right)dx=\int_1^e\frac{\ln^2x}{x}\,dx=\int_1^e(\ln x)'\cdot\ln^2x\,dx=\left.\frac{\ln^3x}{3}\right|_1^e= ∫ 1 e ( f ( x ) − 6 − x 1 ) d x = ∫ 1 e x ln 2 x d x = ∫ 1 e ( ln x ) ′ ⋅ ln 2 x d x = 3 ln 3 x 1 e = 3 p = ln 3 e 3 − ln 3 1 3 = 1 3 =\dfrac{\ln^3e}{3}-\dfrac{\ln^31}{3}=\dfrac13 = 3 ln 3 e − 3 ln 3 1 = 3 1 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați numărul real m m m g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb R g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = f ( x ) − 6 x g(x)=\dfrac{f(x)-6}{x} g ( x ) = x f ( x ) − 6 O x Ox O x x = 1 x=1 x = 1 x = e x=e x = e m ( 1 − 2 e ) m\left(1-\dfrac2e\right) m ( 1 − e 2 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 3 m=3 m = 3
Criterii (după barem) g ( x ) = 1 x 2 + ln 2 x x 2 g(x)=\dfrac1{x^2}+\dfrac{\ln^2x}{x^2} g ( x ) = x 2 1 + x 2 ln 2 x x ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇒ A = ∫ 1 e ∣ g ( x ) ∣ d x = − 1 x ∣ 1 e − ∫ 1 e ( 1 x ) ′ ln 2 x d x = x\in(0,+\infty)\Rightarrow\mathcal A=\displaystyle\int_1^e|g(x)|\,dx=-\left.\frac1x\right|_1^e-\int_1^e\left(\frac1x\right)'\ln^2x\,dx= x ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇒ A = ∫ 1 e ∣ g ( x ) ∣ d x = − x 1 1 e − ∫ 1 e ( x 1 ) ′ ln 2 x d x = 2 p = − 1 e + 1 − 1 x ln 2 x ∣ 1 e − 2 x ( 1 + ln x ) ∣ 1 e = 3 − 6 e =-\dfrac1e+1-\left.\dfrac1x\ln^2x\right|_1^e-\left.\dfrac2x(1+\ln x)\right|_1^e=3-\dfrac6e = − e 1 + 1 − x 1 ln 2 x 1 e − x 2 ( 1 + ln x ) 1 e = 3 − e 6 m ( 1 − 2 e ) = 3 − 6 e m\left(1-\dfrac2e\right)=3-\dfrac6e m ( 1 − e 2 ) = 3 − e 6 m = 3 m=3 m = 3 3 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1,+\infty)\to\mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 4 x ln x f(x)=\frac{x^2-4}{x\ln x} f ( x ) = x l n x x 2 − 4
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = 7 3 \int_2^3 f(x)x\ln x\,dx=\frac73 ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = 3 7
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Simplificarea integrandului și o primitivă corectă. 3 p Calculul la capete, rezultat 7 / 3 7/3 7/3 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ e e 2 f ( x ) x 2 − 4 d x = ln 2 \int_e^{e^2}\frac{f(x)}{x^2-4}\,dx=\ln2 ∫ e e 2 x 2 − 4 f ( x ) d x = ln 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea la 1 / ( x ln x ) 1/(x\ln x) 1/ ( x ln x ) ln ( ln x ) \ln(\ln x) ln ( ln x ) 3 p Calculul la capete, rezultat ln 2 \ln2 ln 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Fie F F F f f f F ( 2 ) = 0 F(2)=0 F ( 2 ) = 0 lim x → 2 ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t F 2 ( x ) = ln 2 4 \lim_{x\to2}\frac{\int_2^x(t-2)F(t)\,dt}{F^2(x)}=\frac{\ln2}4 lim x → 2 F 2 ( x ) ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = 4 l n 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Aplicarea regulii lui l'Hôpital și derivarea integralei. 3 p Simplificarea raportului și limita ln 2 / 4 \ln2/4 ln 2/4 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( − 2 , + ∞ ) → R f:(-2,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 2 , + ∞ ) → R f ( x ) = 4 x 3 + 1 x + 2 f(x)=4x^3+\dfrac1{x+2} f ( x ) = 4 x 3 + x + 2 1
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 1 2 ( f ( x ) − 1 x + 2 ) d x = 15 \displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\frac1{x+2}\right)dx=15 ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 2 1 ) d x = 15
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 2 ( f ( x ) − 1 x + 2 ) d x = ∫ 1 2 4 x 3 d x = x 4 ∣ 1 2 = \displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\frac1{x+2}\right)dx=\int_1^2 4x^3\,dx=\left.x^4\right|_1^2= ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 2 1 ) d x = ∫ 1 2 4 x 3 d x = x 4 1 2 = 3 p = 16 − 1 = 15 =16-1=15 = 16 − 1 = 15 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 e 4 ln x f ( x ) − 4 x 3 d x = e 2 + 9 \displaystyle\int_1^e\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}\,dx=e^2+9 ∫ 1 e f ( x ) − 4 x 3 4 ln x d x = e 2 + 9
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 e 4 ln x f ( x ) − 4 x 3 d x = ∫ 1 e ( 4 x + 8 ) ln x d x = ∫ 1 e ( 2 x 2 + 8 x ) ′ ln x d x = ( 2 x 2 + 8 x ) ln x ∣ 1 e − ( x 2 + 8 x ) ∣ 1 e = \displaystyle\int_1^e\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}\,dx=\int_1^e(4x+8)\ln x\,dx=\int_1^e\left(2x^2+8x\right)'\ln x\,dx=\left.\left(2x^2+8x\right)\ln x\right|_1^e-\left.\left(x^2+8x\right)\right|_1^e= ∫ 1 e f ( x ) − 4 x 3 4 ln x d x = ∫ 1 e ( 4 x + 8 ) ln x d x = ∫ 1 e ( 2 x 2 + 8 x ) ′ ln x d x = ( 2 x 2 + 8 x ) ln x 1 e − ( x 2 + 8 x ) 1 e = 3 p = 2 e 2 + 8 e − e 2 − 8 e + 9 = e 2 + 9 =2e^2+8e-e^2-8e+9=e^2+9 = 2 e 2 + 8 e − e 2 − 8 e + 9 = e 2 + 9 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : ( − 2 , + ∞ ) → R g:(-2,+\infty)\to\mathbb R g : ( − 2 , + ∞ ) → R g ( x ) = f ( e x ) − 4 e 3 x g(x)=f\left(e^x\right)-4e^{3x} g ( x ) = f ( e x ) − 4 e 3 x O x Ox O x x = 0 x=0 x = 0 x = 1 x=1 x = 1 1 2 ln 3 e e + 2 \dfrac12\ln\dfrac{3e}{e+2} 2 1 ln e + 2 3 e
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) g ( x ) = 1 e x + 2 g(x)=\dfrac1{e^x+2} g ( x ) = e x + 2 1 x ∈ ( − 2 , + ∞ ) ⇒ A = ∫ 0 1 ∣ g ( x ) ∣ d x = 1 2 ∫ 0 1 ( 1 − e x e x + 2 ) d x = 1 2 ( x ∣ 0 1 − ln ( e x + 2 ) ∣ 0 1 ) = x\in(-2,+\infty)\Rightarrow\mathcal A=\displaystyle\int_0^1|g(x)|\,dx=\frac12\int_0^1\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right)dx=\frac12\left(\left.x\right|_0^1-\left.\ln\left(e^x+2\right)\right|_0^1\right)= x ∈ ( − 2 , + ∞ ) ⇒ A = ∫ 0 1 ∣ g ( x ) ∣ d x = 2 1 ∫ 0 1 ( 1 − e x + 2 e x ) d x = 2 1 ( x ∣ 0 1 − ln ( e x + 2 ) ∣ 0 1 ) = 3 p = 1 2 ( 1 − ln e + 2 3 ) = 1 2 ln 3 e e + 2 =\dfrac12\left(1-\ln\dfrac{e+2}{3}\right)=\dfrac12\ln\dfrac{3e}{e+2} = 2 1 ( 1 − ln 3 e + 2 ) = 2 1 ln e + 2 3 e 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x − 2 x 2 − 4 x + 5 f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}} f ( x ) = x 2 − 4 x + 5 x − 2
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 2 4 f ( x ) x 2 − 4 x + 5 d x = 2 \displaystyle\int_2^4f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=2 ∫ 2 4 f ( x ) x 2 − 4 x + 5 d x = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 2 4 f ( x ) x 2 − 4 x + 5 d x = ∫ 2 4 ( x − 2 ) d x = ( x 2 2 − 2 x ) ∣ 2 4 = \displaystyle\int_2^4f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=\int_2^4(x-2)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|_2^4= ∫ 2 4 f ( x ) x 2 − 4 x + 5 d x = ∫ 2 4 ( x − 2 ) d x = ( 2 x 2 − 2 x ) 2 4 = 3 p = 0 − ( − 2 ) = 2 =0-(-2)=2 = 0 − ( − 2 ) = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 3 f ( x ) d x = 0 \displaystyle\int_1^3f(x)\,dx=0 ∫ 1 3 f ( x ) d x = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 3 f ( x ) d x = ∫ 1 3 ( x 2 − 4 x + 5 ) ′ 2 x 2 − 4 x + 5 d x = x 2 − 4 x + 5 ∣ 1 3 = \displaystyle\int_1^3f(x)\,dx=\int_1^3\frac{\left(x^2-4x+5\right)'}{2\sqrt{x^2-4x+5}}\,dx=\left.\sqrt{x^2-4x+5}\right|_1^3= ∫ 1 3 f ( x ) d x = ∫ 1 3 2 x 2 − 4 x + 5 ( x 2 − 4 x + 5 ) ′ d x = x 2 − 4 x + 5 1 3 = 3 p = 2 − 2 = 0 =\sqrt2-\sqrt2=0 = 2 − 2 = 0 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați numărul real nenul m m m g : [ 2 , 3 ] → R g:[2,3]\to\mathbb R g : [ 2 , 3 ] → R g ( x ) = f ( x ) g(x)=f(x) g ( x ) = f ( x ) O x Ox O x π ( 1 − π m ) \pi\left(1-\dfrac\pi m\right) π ( 1 − m π )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 4 m=4 m = 4
Criterii (după barem) V = π ∫ 2 3 f 2 ( x ) d x = π ∫ 2 3 x 2 − 4 x + 4 x 2 − 4 x + 5 d x = π ∫ 2 3 ( 1 − 1 ( x − 2 ) 2 + 1 ) d x = π ( x − arctg ( x − 2 ) ) ∣ 2 3 = V=\pi\displaystyle\int_2^3f^2(x)\,dx=\pi\int_2^3\frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+5}\,dx=\pi\int_2^3\left(1-\frac1{(x-2)^2+1}\right)dx=\pi\left.\big(x-\operatorname{arctg}(x-2)\big)\right|_2^3= V = π ∫ 2 3 f 2 ( x ) d x = π ∫ 2 3 x 2 − 4 x + 5 x 2 − 4 x + 4 d x = π ∫ 2 3 ( 1 − ( x − 2 ) 2 + 1 1 ) d x = π ( x − arctg ( x − 2 ) ) 2 3 = 3 p = π ( 1 − π 4 ) =\pi\left(1-\dfrac\pi4\right) = π ( 1 − 4 π ) π ( 1 − π m ) = π ( 1 − π 4 ) \pi\left(1-\dfrac\pi m\right)=\pi\left(1-\dfrac\pi4\right) π ( 1 − m π ) = π ( 1 − 4 π ) m = 4 m=4 m = 4 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = e x + x 2 − 1 f(x)=e^x+x^2-1 f ( x ) = e x + x 2 − 1
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 1 4 ( f ( x ) − e x ) d x = 18 \int_1^4(f(x)-e^x)\,dx=18 ∫ 1 4 ( f ( x ) − e x ) d x = 18
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea și primitiva. 3 p Evaluarea 18. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 2 e x f ( x ) − x 2 d x = ln ( e + 1 ) \int_1^2\dfrac{e^x}{f(x)-x^2}\,dx=\ln(e+1) ∫ 1 2 f ( x ) − x 2 e x d x = ln ( e + 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Simplificarea și primitiva logaritmică. 3 p Evaluarea ln(e+1). 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.