Bacalaureat 2025 la mate M1: model

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Se consideră z1=4+iz_1=4+i și z2=2−4iz_2=2-4i. Arătați că iz1+z2=1iz_1+z_2=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dezvoltarea produsului și reducerea termenilor imaginari.3 p
  2. Rezultatul 1.2 p

I.25 p

Fie f(x)=x2−3x+5f(x)=x^2-3x+5. Determinați numerele reale a pentru care A(a,5)A(a,5) aparține graficului lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{0,3}a\in\{0,3\}

Barem oficial

  1. Condiția f(a)=5 și ecuația a^2-3 a=0.3 p
  2. Rădăcinile 0 și 3.2 p

I.35 p

Rezolvați ecuația log⁡6(7x−5)=log⁡6(x+1)+1log⁡x6\log_6(7x-5)=\log_6(x+1)+\dfrac1{\log_x6} în numere reale.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=5x=5

Barem oficial

  1. Transformarea în ecuația x^2-6 x+5=0.3 p
  2. Rădăcinile 1,5 și excluderea lui 1.2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales din mulțimea numerelor naturale de două cifre să fie multiplu impar al lui 9.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1/181/18

Barem oficial

  1. 90 de cazuri posibile.2 p
  2. Cinci cazuri favorabile și probabilitatea 1/18.3 p

I.55 p

Fie A(2,0)A(2,0), B(2,4)B(2,4) și C(5,a)C(5,a). Determinați a∈Ra\in\mathbb R, știind că OB și AC sunt paralele.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=6a=6

Barem oficial

  1. Panta lui OB este 2.2 p
  2. Panta lui AC este a/3 și egalarea dă a=6.3 p

I.65 p

Fie triunghiul ABC cu AB=6AB=6, BC=10BC=10 și cos⁡B=4/5\cos B=4/5. Arătați că aria sa este 18.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul sinusului 3/5.3 p
  2. Formula ariei și rezultatul 18.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, A=(001−1000−10)A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x001x−x01)B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}, unde x∈Rx\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A=1\det A=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea dezvoltării determinantului.3 p
  2. Rezultatul 1.2 p

II.1.b5 p

Arătați că A−B(x)A=xI3A-B(x)A=xI_3, pentru orice x∈Rx\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul produsului și al diferenței.3 p
  2. Identificarea lui xI 3.2 p

II.1.c5 p

Pentru fiecare x∈Rx\in\mathbb R, fie C(x) astfel încât AC(x)=B(x)AC(x)=B(x). Arătați că C(x)−C(y)=(y−x)AC(x)-C(y)=(y-x)A pentru orice x,y∈Rx,y\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul inversei și al lui C(x).3 p
  2. Diferența egală cu(y-x)A.2 p

II.2

Pe R\mathbb R se definește legea de compoziție x∗y=x2y+xy2+x+yx*y=x^2y+xy^2+x+y.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗3=161*3=16.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea în lege.3 p
  2. Rezultatul 16.2 p

II.2.b5 p

Determinați numerele reale nenule x pentru care x∗(2/x)=9xx*(2/x)=9x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{−1,1}x\in\{-1,1\}

Barem oficial

  1. Simplificarea operației la(3 x^2+6)/x.3 p
  2. Ecuația și soluțiile-1,1.2 p

II.2.c5 p

Determinați perechile întregi (m,n)(m,n), cu m≤nm\le n, pentru care m∗n=1m*n=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (m,n)∈{(−2,1),(0,1)}(m,n)\in\{(-2,1),(0,1)\}

Barem oficial

  1. Factorizarea legii.2 p
  2. Analiza celor două cazuri și perechile.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=ln⁡x/x3f(x)=\ln x/x^3.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(1−3ln⁡x)/x4f\prime(x)=(1-3\ln x)/x^4, pentru x>0x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea produsului/raportului.3 p
  2. Simplificarea în forma cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=0y=0

Barem oficial

  1. Calculul limitei 0.3 p
  2. Ecuația y=0.2 p

III.1.c5 p

Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x)=m are cel puțin o soluție.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m∈(−∞,1/(3e)]m\in(-\infty,1/(3e)]

Barem oficial

  1. Monotonia și punctul critic.2 p
  2. Limita la 0, valoarea maximă și imaginea funcției.3 p

III.2

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=ex+x2−1f(x)=e^x+x^2-1.

III.2.a5 p

Arătați că ∫14(f(x)−ex) dx=18\int_1^4(f(x)-e^x)\,dx=18.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea și primitiva.3 p
  2. Evaluarea 18.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫12exf(x)−x2 dx=ln⁡(e+1)\int_1^2\dfrac{e^x}{f(x)-x^2}\,dx=\ln(e+1).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea și primitiva logaritmică.3 p
  2. Evaluarea ln(e+1).2 p

III.2.c5 p

Demonstrați că ∫01xf(x)+1 dx≤1−2/e\int_0^1\dfrac{x}{f(x)+1}\,dx\le1-2/e.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Comparația integrandului cu xe^-x.3 p
  2. Calculul integralei majorante și concluzia.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.