Bacalaureat 2024 la mate M1: model

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 2(1−2i)+i(4+i)=12(1-2i)+i(4+i)=1, unde i2=−1 i^2=-1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dezvoltarea produselor cu numere complexe.3 p
  2. Folosirea i²=-1 și rezultatul 1.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=x2+ax−a f(x)=x^2+ax-a , determinați a∈R a\in\mathbb R astfel încât A(3,−3) A(3,-3) să aparțină graficului.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−6 a=-6

Barem oficial

  1. Condiția f(3)=-3 și ecuația în a.3 p
  2. Rezultatul a=-6.2 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația log⁡2(x2+8)=log⁡2(8−2x)\log_2(x^2+8)=\log_2(8-2x).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{−2,0} x\in\{-2,0\}

Barem oficial

  1. Egalarea argumentelor și ecuația x²+2 x=0.3 p
  2. Cele două rădăcini admise -2 și 0.2 p

I.45 p

Câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se formează cu elemente din A={1,2,3,4,5} A=\{1,2,3,4,5\}?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 88

Barem oficial

  1. Cele două alegeri ale cifrei zecilor.2 p
  2. Cele patru alegeri ale unităților și totalul 8.3 p

I.55 p

Fie A(0,3) A(0,3), B(4,0) B(4,0). Determinați C C astfel încât OA→+OB→=OC→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: C(4,3) C(4,3)

Barem oficial

  1. Vectorii de poziție OA și OB.2 p
  2. Adunarea și coordonatele C(4, 3).3 p

I.65 p

Triunghiul ascuțitunghic ABC ABC are AB=5 AB=5, C=π/4 C=\pi/4 și înălțimea AD=4 AD=4. Arătați că BC=7 BC=7.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea segmentului DC=4.2 p
  2. Calcularea BD=3 și BC=7.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie I3 I_3 matricea unitate și A(a)=(001a−1a100) A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}, a∈R a\in\mathbb R .

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(1)=1\det A(1)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Matricea A(1) și formula determinantului.2 p
  2. Calculul determinantului 1.3 p

II.1.b5 p

Arătați că A(a)A(b)=A(a)−A(b)+I3 A(a)A(b)=A(a)-A(b)+I_3 pentru orice a,b∈R a,b\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Produsul A(a)A(b).3 p
  2. Identificarea sa cu A(a)-A(b)+I₃.2 p

II.1.c5 p

Determinați X∈M3(R) X\in M_3(\mathbb R) astfel încât A(1)XA(0)=I3 A(1)XA(0)=I_3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(100111001) X=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}

Barem oficial

  1. Inversele lui A(1) și A(0).2 p
  2. Izolarea și calcularea lui X.3 p

II.2

Pe M=[3,+∞) M=[3,+\infty) se definește x∘y=m(x−3)(y−3)+3 x\circ y=m(x-3)(y-3)+3, unde m>0 m>0.

II.2.a5 p

Arătați că 3∘5=33\circ5=3 pentru orice m>0 m>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea în formula legii.3 p
  2. Reducerea produsului nul și rezultatul 3.2 p

II.2.b5 p

Pentru m=2 m=2, arătați că e=7/2 e=7/2 este elementul neutru al legii ∘\circ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Identitatea x∘(7/2)=x.2 p
  2. Identitatea (7/2)∘x=x și concluzia.3 p

II.2.c5 p

Fie f:M→M f:M\to M , f(x)=3+x−3 f(x)=3+\sqrt{x-3}. Pentru m=1 m=1, arătați că f(x∘y)=f(x)∘f(y) f(x\circ y)=f(x)\circ f(y) pentru orice x,y∈M x,y\in M .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea lui f(x∘y).2 p
  2. Identificarea cu f(x)∘f(y) pentru x, y din M.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Fie f:(1,+∞)→R f:(1,+\infty)\to\mathbb R , f(x)=x−e−xx−1 f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(x−1)2+xe−x(x−1)2 f\prime(x)=\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2} pentru x>1 x>1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Regula câtului pentru termenul exponențial.3 p
  2. Reducerea la formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați asimptota oblică la +∞+\infty a graficului lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=x y=x

Barem oficial

  1. Panta asimptotei, limita f(x)/x=1.3 p
  2. Limita f(x)-x=0 și dreapta y=x.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că f:(1,+∞)→R f:(1,+\infty)\to\mathbb R este bijectivă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivata pozitivă și injectivitatea.2 p
  2. Continuitatea, limitele și surjectivitatea, apoi bijectivitatea.3 p

III.2

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=x(x2+1)2 f(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫13f(x)(x2+1)2 dx=4\int_1^3 f(x)(x^2+1)^2\,dx=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea integrandului și primitiva x²/2.3 p
  2. Calculul la capete, rezultat 4.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫01f(x) dx=1/4\int_0^1f(x)\,dx=1/4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Primitiva -1/(2(x²+1)).3 p
  2. Calculul rezultatului 1/4.2 p

III.2.c5 p

Pentru In=∫01xnxf(x) dx I_n=\int_0^1x^n\sqrt{xf(x)}\,dx , n∈N∗ n\in\mathbb N^*, arătați că In−In+4=2(n+2)(n+4) I_n-I_{n+4}=\frac2{(n+2)(n+4)}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea lui Iₙ la integrala xⁿ⁺¹/(x²+1).2 p
  2. Diferența, reducerea, integrarea și formula finală.3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.