Bacalaureat 2023 la mate M1: model

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați a,b∈R a,b\in\mathbb R astfel încât (a+bi)(1+i)=4(a+bi)(1+i)=4, unde i2=−1 i^2=-1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2 a=2, b=−2 b=-2

Barem oficial

  1. Dezvoltarea produsului și sistemul a-b=4, a+b=0.3 p
  2. Calcularea a=2 și b=-2.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=mx2−2x+m f(x)=mx^2-2x+m , m≠0 m\ne0, determinați m astfel încât f(m−x)=f(m+x) f(m-x)=f(m+x) pentru orice x∈R x\in\mathbb R .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m∈{−1,1} m\in\{-1,1\}

Barem oficial

  1. Dezvoltarea identității și condiția m²=1 pentru orice x.3 p
  2. Cele două valori nenule m=-1 și m=1.2 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația 2log⁡2(2x)−1=log⁡2(x2+x+2)2\log_2(2x)-1=\log_2(x^2+x+2).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2 x=2

Barem oficial

  1. Regulile logaritmilor și ecuația x²-x -2=0.3 p
  2. Eliminarea lui -1 și soluția admisă 2.2 p

I.45 p

Fie A={1,2,3,4} A=\{1,2,3,4\} și F={f∣f:A→A} F=\{f\mid f:A\to A\}. Calculați probabilitatea ca f aleasă din F să satisfacă f(n)≤n f(n)\le n pentru orice n∈A n\in A .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 332\frac3{32}

Barem oficial

  1. Cele 256 de funcții posibile.2 p
  2. Cele 24 de funcții favorabile și probabilitatea 3/32.3 p

I.55 p

Fie A(5,3) A(5,3), B(−1,5) B(-1,5). Determinați C astfel încât CA→+CB→=2OC→\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{OC}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: C(1,2) C(1,2)

Barem oficial

  1. Relația vectorială echivalentă că C este mijlocul lui OM, cu M mijlocul lui AB.3 p
  2. Coordonatele C(1, 2).2 p

I.65 p

Triunghiul ABC are AB=8 și unghiul C de 30°. Dacă O este centrul cercului circumscris, determinați distanța de la O la latura AB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 434\sqrt3

Barem oficial

  1. Raza cercului circumscris R=8.2 p
  2. Distanța de la O la AB egală cu 4√3.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie A(a)=(3a−22a+11−a−1a+2−21) A(a)=\begin{pmatrix}3&a&-2\\2a+1&1-a&-1\\a+2&-2&1\end{pmatrix} și sistemul {3x+ay−2z=b(2a+1)x+(1−a)y−z=c(a+2)x−2y+z=−1\begin{cases}3x+ay-2z=b\\(2a+1)x+(1-a)y-z=c\\(a+2)x-2y+z=-1\end{cases}, unde a,b,c∈R a,b,c\in\mathbb R .

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(0)=5\det A(0)=5.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Matricea A(0) și formula determinantului.2 p
  2. Calculul rezultatului 5.3 p

II.1.b5 p

Determinați a∈R a\in\mathbb R pentru care A(a) este inversabilă.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈R∖{−1,1} a\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}

Barem oficial

  1. Calcularea determinantului -5(a -1)(a+1).2 p
  2. Condiția de inversabilitate a≠-1 și a≠1.3 p

II.1.c5 p

Determinați b,c∈R b,c\in\mathbb R astfel încât sistemul să fie compatibil pentru orice a∈R a\in\mathbb R .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: b=2 b=2, c=1 c=1

Barem oficial

  1. Compatibilitatea automată la determinant nenul și condițiile la a=±1.3 p
  2. Valorile b=2 și c=1.2 p

II.2

Fie f=X4+aX3+aX2+8X−8 f=X^4+aX^3+aX^2+8X-8, a∈R a\in\mathbb R .

II.2.a5 p

Arătați că f(-1)=-15 pentru orice a real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea lui -1 în polinom.3 p
  2. Reducerea termenilor și rezultatul -15.2 p

II.2.b5 p

Determinați a astfel încât restul împărțirii lui f la g=X2−1 g=X^2-1 să fie 15 X.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=7 a=7

Barem oficial

  1. Restul (a+8)X+a -7.3 p
  2. Egalarea cu 15 X și a=7.2 p

II.2.c5 p

Arătați că f nu are toate rădăcinile întregi, oricare ar fi a real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. În barem: presupunerea că toate rădăcinile sunt întregi implică a întreg prin Viète.2 p
  2. În barem: produsul -8 impune o rădăcină de modul 1; f(-1)≠0 și f(1)=0 ar impune a=-1/2, contradicție. Se acceptă orice demonstrație corectă echivalentă.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=1−x−(x4−1)arctan⁡x f(x)=1-x-(x^4-1)\arctan x .

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=−x2(4xarctan⁡x+1) f\prime(x)=-x^2(4x\arctan x+1) pentru orice x real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea produsului cu arctangenta.3 p
  2. Simplificarea la -x²(4 x·arctan x+1).2 p

III.1.b5 p

Determinați tangenta la graficul lui f paralelă cu axa Ox.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=1 y=1

Barem oficial

  1. Condiția de tangentă orizontală f′(x)=0.2 p
  2. Abscisa 0 și ecuația tangentei y=1.3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că tan⁡(f(x))≥f(x)≥f(tan⁡x)\tan(f(x))\ge f(x)\ge f(\tan x) pentru x∈[0,1] x\in[0,1].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Monotonia lui f și încadrarea 0≤f(x)≤1.2 p
  2. Inegalitatea tan u≥u și compunerea cu funcția descrescătoare.3 p

III.2

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=x2+ex1+e−x f(x)=\frac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫03(1+e−x)f(x) dx=8+e3\int_0^3(1+e^{-x})f(x)\,dx=8+e^3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea integrandului și primitiva x³/3+eˣ.3 p
  2. Calculul final 8+e³.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫−mmf(x)x2+ex dx=m\int_{-m}^m\frac{f(x)}{x^2+e^x}\,dx=m pentru orice m>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea integrandului și primitiva ln(1+eˣ).3 p
  2. Calculul între -m și m, rezultat m.2 p

III.2.c5 p

Determinați a≠0 a\ne0 pentru care lim⁡x→0∫0xf(t) dteax−1=1\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{e^{ax}-1}=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=12 a=\frac12

Barem oficial

  1. Forma 0/0 și regula lui l Hospital.2 p
  2. Limita 1/(2 a), ecuația și a=1/2.3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.