Bacalaureat 2023 la mate M1: iunie

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Se consideră $z=3+i$ . Arătați că $z(z-2i)=10$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Scrierea produsului conjugatelor $3^2-i^2$ .3 p
Obținerea valorii 10.2 p

I.25 p

Pentru $f(x)=5x+1$ , arătați că $f(2x)-2f(x)=-1$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calcularea lui $f(2x)=10x+1$ .2 p
Calcularea diferenței $f(2x)-2f(x)=-1$ .3 p

I.35 p

Rezolvați în $\mathbb R$ ecuația $\sqrt[3]{x^3-2x+2}=x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=1$

Barem oficial

Cubarea și reducerea la $-2x+2=0$ .3 p
Obținerea soluției x=1.2 p

I.45 p

A este mulțimea numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca $n+5$ să fie multiplu de 10 pentru $n$ ales din A.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\frac1{10}$

Barem oficial

Numărarea celor 90 de cazuri posibile.2 p
Numărarea celor 9 cazuri favorabile și calcularea probabilității 1/10.3 p

I.55 p

În reperul xOy, $A(4,0)$ și $B(5,4)$ . Determinați dreapta prin O paralelă cu AB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=4x$

Barem oficial

Determinarea pantei 4 și folosirea paralelismului.3 p
Ecuația y=4 x.2 p

I.65 p

Triunghiul isoscel ABC este dreptunghic în A și are aria 4. Arătați că $BC=4$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Relația dintre înălțimea din A și ipotenuză (sau pas echivalent într-o soluție corectă).3 p
Folosirea ariei și obținerea lungimii BC=4.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&a\\a&a+1&-2\end{pmatrix}$ și sistemul $\begin{cases}2x+y+2z=2\\x-y+az=4\\ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}$ , unde $a\in\mathbb R$ .

II.1.a5 p

Arătați că $\det A(0)=8$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea lui a=0 și scrierea determinantului.2 p
Calcularea determinantului 8.3 p

II.1.b5 p

Determinați valorile reale a pentru care A(a) este inversabilă.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a\in\mathbb R\setminus\{-2,4\}$

Barem oficial

Calcularea determinantului $-a^2+2a+8$ .2 p
Excluderea valorilor -2 și 4 pentru inversabilitate.3 p

II.1.c5 p

Pentru $a=-2$ , arătați că $x_0z_0+y_0=-2$ pentru orice soluție a sistemului.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Obținerea familiei $(2,-2-2\alpha,\alpha)$ sau a relațiilor echivalente.3 p
Calcularea expresiei $x_0z_0+y_0=-2$ .2 p

II.2

Pe $\mathbb R$ se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+(2^x-2)(2^y-2)$ .

II.2.a5 p

Arătați că $2\circ3=18$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea lui x=2, y=3 în lege.3 p
Obținerea valorii 18.2 p

II.2.b5 p

Arătați că $e=1$ este element neutru pentru $\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Verificarea egalității $x\circ1=x$ .2 p
Verificarea egalității $1\circ x=x$ și concluzia privind neutrul.3 p

II.2.c5 p

Demonstrați că $x\circ(-x)\le1$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Dezvoltarea expresiei $-x^2+5-2\cdot2^x-2\cdot2^{-x}$ .2 p
Estimarea prin pătrat nenegativ/suma u+1/u și concluzia≤1.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția $f:(1,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=x+3\ln\frac{x+3}{x-1}$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f'(x)=\frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$ pentru $x>1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Derivarea logaritmilor și scrierea 1+3/(x+3)-3/(x -1).3 p
Aducerea la numitor comun și expresia cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați asimptota oblică spre $+\infty$ a graficului lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=x$

Barem oficial

Determinarea limitei f(x)/x=1.2 p
Determinarea limitei f(x)-x=0 și ecuația y=x.3 p

III.1.c5 p

Arătați că $\ln\frac{x+3}{3(x-1)}\ge1-\frac x3$ pentru orice $x>1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Semnul derivatei și minimul global la x=3.3 p
Calcularea lui f(3), apoi inegalitatea echivalentă cerută.2 p

III.2

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=(x^2+2x)e^{-x}$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\int_0^3 f(x)e^x\,dx=18$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea integrandului și calcularea primitivei polinomiale.3 p
Evaluarea la capete și rezultatul 18.2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\int_0^1\frac{f(x)}{x+2}\,dx=\frac{e-2}{e}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea și integrarea prin părți a lui x·e^(-x).3 p
Rezultatul(e -2)/e.2 p

III.2.c5 p

Demonstrați că $\lim_{x\to0}\frac1{x^2}\int_0^x f(t)\,dt=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Aplicarea teoremei fundamentale și a regulii lui l'Hôpital.2 p
Simplificarea raportului derivatelor și limita 1.3 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.