Bacalaureat 2023 la mate M1: simulare

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Pentru z1=1+2i,z2=1−iz_1=1+2i,z_2=1-i, arătați că z12+4z2=1z_1^2+4z_2=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dezvoltarea pătratului și adunarea termenilor complecși.3 p
  2. Folosirea lui i²=-1 și rezultatul 1.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=3x+1f(x)=3x+1 și g(x)=x2+x+mg(x)=x^2+x+m, determinați m real astfel încât graficele să aibă exact un punct comun.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=2m=2

Barem oficial

  1. Ecuația intersecției x²-2 x+m -1=0.2 p
  2. Discriminantul zero și valoarea m=2.3 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația lg⁡(x2+9)=2lg⁡(x10)\lg(x^2+9)=2\lg(x\sqrt{10}).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Barem oficial

  1. Scrierea egalității argumentelor x²+9=10 x².3 p
  2. Excluderea lui -1 și păstrarea soluției 1.2 p

I.45 p

A este mulțimea numerelor naturale de cel mult două cifre. Calculați probabilitatea ca un număr ales din A să fie divizibil cu 9.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 3/253/25

Barem oficial

  1. Numărarea celor 100 de elemente, inclusiv zero.2 p
  2. Numărarea celor 12 multipli și calcularea probabilității 3/25.3 p

I.55 p

În triunghiul ABC, M este mijlocul lui AC, iar D, E sunt pe AB cu AD=BE. Arătați că MD→+ME→=CB→\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{CB}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Descompunerea vectorilor pe drumuri sau vectori de poziție echivalenți.2 p
  2. Folosirea mijlocului și anularea vectorilor opuși pentru a obține CB.3 p

I.65 p

Determinați x∈[0,π]x\in[0,\pi] pentru care sin⁡2x=1+cos⁡2x\sin2x=1+\cos2x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{π/4,π/2}x\in\{\pi/4,\pi/2\}

Barem oficial

  1. Factorizarea ecuației în 2 cosx(sinx-cosx)=0.2 p
  2. Ambele soluții π/4 și π/2 în interval.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră A(a)=(a121a−1221)A(a)=\begin{pmatrix}a&1&2\\1&a&-1\\2&2&1\end{pmatrix} și sistemul {ax+y+2z=−2x+ay−z=42x+2y+z=2\begin{cases}ax+y+2z=-2\\x+ay-z=4\\2x+2y+z=2\end{cases}, unde a∈Ra\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(0)=1\det A(0)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea și dezvoltarea determinantului la a=0.3 p
  2. Rezultatul 1.2 p

II.1.b5 p

Determinați a real pentru care sistemul are soluție unică.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈R∖{1}a\in\mathbb R\setminus\{1\}

Barem oficial

  1. Determinantul (a -1)².3 p
  2. Condiția a≠1 pentru soluție unică.2 p

II.1.c5 p

Pentru a=1, determinați soluțiile întregi (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) cu x0>y0>z0x_0>y_0>z_0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (2,0,−2)(2,0,-2) și (3,−1,−2)(3,-1,-2)

Barem oficial

  1. Obținerea familiei (t, 2-t, -2).2 p
  2. Restricțiile întregi și inegalitățile, apoi cele două triple.3 p

II.2

Pe M=[−1,1]M=[-1,1] se definește x∗y=xy1+(1−x2)(1−y2)x*y=\frac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗12=121*\frac12=\frac12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea argumentelor și calcularea radicalului zero.3 p
  2. Rezultatul 1/2.2 p

II.2.b5 p

Arătați că x∗(−x)≥−x2x*(-x)\ge-x^2 pentru orice x∈[−1,1]x\in[-1,1].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea lui x*(-x)=-x²/(2-x²).3 p
  2. Semnul diferenței și inegalitatea cerută.2 p

II.2.c5 p

Determinați (a,b)∈[−1,1]2(a,b)\in[-1,1]^2 pentru care a*b=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (a,b)=(1,1)(a,b)=(1,1) sau (−1,−1)(-1,-1)

Barem oficial

  1. Deducerea condiției ab≥1 din ecuație.3 p
  2. Folosirea limitelor lui M și cele două perechi finale.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x−1−ln⁡(ex+x2)f(x)=x-1-\ln(e^x+x^2).

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=x(x−2)ex+x2f'(x)=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2} pentru x real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea logaritmului prin regula lanțului.3 p
  2. Simplificarea numărătorului la x(x -2).2 p

III.1.b5 p

Determinați a real pentru care tangenta în (a,f(a))(a,f(a)) este paralelă cu Ox.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{0,2}a\in\{0,2\}

Barem oficial

  1. Condiția tangentei orizontale f'(a)=0.3 p
  2. Rădăcinile a=0 și a=2.2 p

III.1.c5 p

Determinați imaginea funcției f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (−∞,−1](-\infty,-1]

Barem oficial

  1. Controlul variației sau o estimare echivalentă a maximului global.2 p
  2. Continuitatea, limita la -∞ și valoarea maximă -1 dau imaginea (-∞, -1].3 p

III.2

Se consideră f:(−3,+∞)→Rf:(-3,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=x2+1x+3f(x)=\frac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫03f(x)x+3 dx=12\int_0^3 f(x)\sqrt{x+3}\,dx=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea integrandului și primitiva x³/3+x.3 p
  2. Evaluarea și rezultatul 12.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫−21f(x)x2+1 dx=2\int_{-2}^1\frac{f(x)}{x^2+1}\,dx=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea și primitiva 2√(x+3).3 p
  2. Evaluarea și rezultatul 2.2 p

III.2.c5 p

Demonstrați că ∫011f(x) dx≤π2\int_0^1\frac1{f(x)}\,dx\le\frac\pi2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Estimarea integrandului prin 2/(1+x²) și integrarea inegalității.3 p
  2. Primitiva arctangentă și valoarea π/2.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.