Bacalaureat 2022 la mate M1: simulare

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Fie z1=1−2iz_1=1-2i, z2=2+iz_2=2+i. Arătați că (z1+i)(z2−1)=2(z_1+i)(z_2-1)=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea și produsul conjugatelor.2 p
  2. Rezultatul 2.3 p

I.25 p

Fie f(x)=x2+4x+mf(x)=x^2+4x+m. Determinați m∈Rm\in\mathbb R astfel încât f(x)>0 pentru orice x real.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m∈(4,+∞)m\in(4,+\infty)

Barem oficial

  1. Condiția de discriminant negativ sau minim pozitiv.3 p
  2. Intervalul m>4.2 p

I.35 p

Rezolvați în numere reale ecuația 1+2log⁡2x−2=log⁡2x1+2\log_2\sqrt{x-2}=\log_2x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=4x=4

Barem oficial

  1. Transformarea logaritmică și ecuația.3 p
  2. x=4 și verificarea domeniului.2 p

I.45 p

Fie A mulțimea numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca un număr ales din A să aibă exact doi multipli în A.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 8/458/45

Barem oficial

  1. 90 de cazuri posibile.2 p
  2. Intervalul 34...49 și probabilitatea 8/45.3 p

I.55 p

Fie A(−2,−2)A(-2,-2), B(3,1)B(3,1), M(2,4)M(2,4). Determinați N astfel încât ABMN să fie paralelogram.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: N(−3,1)N(-3,1)

Barem oficial

  1. Mijlocul diagonalei AM.2 p
  2. Mijloc comun și N(-3,1).3 p

I.65 p

Fie triunghiul ABC în c are sin⁡(A+B)+cos⁡C=1\sin(A+B)+\cos C=1. Arătați că triunghiul este dreptunghic.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea la sinC+cosC=1.2 p
  2. Pătrarea și C=pi/2.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră A(a)=(13a21−1a31)A(a)=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix} și sistemul {x+3y+az=22x+y−z=−1ax+3y+z=1\begin{cases}x+3y+az=2\\2x+y-z=-1\\ax+3y+z=1\end{cases}, unde a∈Ra\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(1)=0\det A(1)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea/dezvoltarea determinantului.3 p
  2. Rezultatul 0.2 p

II.1.b5 p

Fie B(a)=A(a)−A(0)B(a)=A(a)-A(0). Arătați că B(a)3=a3B(1)B(a)^3=a^3B(1) pentru orice a real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. B(a) și pătratul lui.2 p
  2. Cubul și forma a^3 B(1).3 p

II.1.c5 p

Demonstrați că, dacă sistemul are o infinitate de soluții, atunci x0y0+y0z0+z0x0≤0x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0\le0 pentru orice soluție reală (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Determinantul și alegerea singurului parametru compatibil a=2.2 p
  2. Parametrizarea și pătratul negativ.3 p

II.2

Pe C\mathbb C se definește z1∗z2=z1+z24∣z1z2∣+1z_1*z_2=\dfrac{z_1+z_2}{4|z_1z_2|+1}.

II.2.a5 p

Arătați că (−1)∗2=1/9(-1)*2=1/9.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea și modulul.3 p
  2. Rezultatul 1/9.2 p

II.2.b5 p

Arătați că e=0e=0 este elementul neutru al legii *.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. z*0=z.2 p
  2. 0*z=z și concluzia.3 p

II.2.c5 p

Demonstrați că există cel puțin trei complexe distincte nenule pentru c are ∣z∗z∣=∣z∣|z*z|=|z|.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Formula lui z*z și a modulului.2 p
  2. Condiția r=1/2 și trei exemple.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=x4+16xf(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}x.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(x2−4)(x2+4)x2x4+16f\prime(x)=\dfrac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}} pentru x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea raportului și radicalului.3 p
  2. Simplificarea și factorizarea.2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=xy=x

Barem oficial

  1. Limita pantei 1.2 p
  2. Limita termenului liber 0 și ecuația.3 p

III.1.c5 p

Determinați m∈Rm\in\mathbb R pentru c are f(x)+f(4/x)=mf(x)+f(4/x)=m are exact două soluții.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m∈(42,+∞)m\in(4\sqrt2,+\infty)

Barem oficial

  1. Monotonia lui f.2 p
  2. Identitatea, minimul, limitele și intervalul strict al lui m.3 p

III.2

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x2+1exf(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫03exf(x) dx=12\int_0^3e^xf(x)\,dx=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea și primitiva.3 p
  2. Valoarea 12.2 p

III.2.b5 p

Arătați că orice primitivă G a lui g(x)=1/f(x)g(x)=1/f(x) este convexă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Gsecond=gprime.2 p
  2. Formula nenegativă și convexitatea.3 p

III.2.c5 p

Determinați a∈Ra\in\mathbb R pentru c are ∫01x3exf(x) dx=(a−2)/3\int_0^1\dfrac{x^3}{\sqrt{e^xf(x)}}\,dx=(a-\sqrt2)/3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Barem oficial

  1. Simplificarea, primitiva și evaluarea.3 p
  2. Identificarea lui a=2.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.