Bacalaureat 2021 la mate M1: simulare

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Fie progresia geometrică $(b_n)_{n\ge1}$ cu $b_2=2$ și $b_4=4$ . Determinați $b_6$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $b_6=8$

Barem oficial

Relația $b_4^2=b_2b_6$ , adică $4^2=2b_6$ .3 p
Obținerea lui $b_6=8$ .2 p

I.25 p

Fie $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2-2x+m$ , $m\in\mathbb R$ . Determinați $m$ pentru care vârful parabolei este pe dreapta $y=3x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=4$

Barem oficial

Coordonatele vârfului $x_V=1$ , $y_V=m-1$ .2 p
Condiția $y_V=3x_V$ și obținerea lui $m=4$ .3 p

I.35 p

Rezolvați în $\mathbb R$ ecuația $4^x-2^{x+1}-3=0$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=\log_2 3$

Barem oficial

Rescrierea și factorizarea $(2^x+1)(2^x-3)=0$ .3 p
Folosirea lui $2^x>0$ și soluția $x=\log_2 3$ .2 p

I.45 p

Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $243$

Barem oficial

Identificarea formelor $\overline{aab}$ , $\overline{aba}$ , $\overline{baa}$ , cu cifre distincte $a,b$ .2 p
Numărarea a câte $81$ de numere pentru fiecare formă, în total $243$ .3 p

I.55 p

Segmentele $AB$ și $A\prime B\prime$ au același mijloc. Demonstrați că $\overrightarrow{AB\prime}+\overrightarrow{BA\prime}=\vec0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Exprimarea egalităților vectoriale pentru mijlocul comun $M$ .2 p
Descompunerea prin $M$ și reducerea sumei cerute la vectorul nul.3 p

I.65 p

Demonstrați că în orice triunghi $ABC$ , $AB+AC+BC=2R(\sin A+\sin B+\sin C)$ , unde $R$ este raza cercului circumscris.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Teorema sinusurilor extinsă: $BC/\sin A=AC/\sin B=AB/\sin C=2R$ .2 p
Scrierea fiecărei laturi și adunarea celor trei relații.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră sistemul $\begin{cases}ax+(a+1)y+(a+2)z=a\\bx+(b+1)y+(b+2)z=b\\y+z=1\end{cases}$ și matricea $X(a,b)=\begin{pmatrix}a&a+1&a+2\\b&b+1&b+2\\0&1&1\end{pmatrix}$ , unde $a,b\in\mathbb R$ .

II.1.a5 p

Arătați că $\det X(0,1)=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea parametrilor și scrierea determinantului lui $X(0,1)$ .2 p
Calculul determinantului $1$ .3 p

II.1.b5 p

Demonstrați că pentru orice $a,b\in\mathbb R$ , $a\ne b$ , sistemul are soluție unică.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul $\det X(a,b)=b-a$ .3 p
Pentru $a\ne b$ , determinant nenul și soluție unică.2 p

II.1.c5 p

Demonstrați că dacă $(x_0,y_0,z_0)$ este o soluție a sistemului, atunci $y_0^2-z_0^2-2ax_0=3$ , pentru orice $a\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Pentru $a\ne b$ , soluția unică $(0,2,-1)$ și verificarea identității.2 p
Pentru $a=b$ , soluțiile $(\alpha,2+a\alpha,-1-a\alpha)$ și verificarea identității pentru orice $\alpha\in\mathbb R$ .3 p

II.2

Pe $M=(2,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x*y=(x-1)^{\log_3(y-1)}+1$ .

II.2.a5 p

Arătați că $5*10=17$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea $5*10=4^{\log_3 9}+1$ .3 p
Calculul $4^2+1=17$ .2 p

II.2.b5 p

Determinați elementul neutru al legii $*$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $e=4$

Barem oficial

Condiția $x*e=x$ , deducerea $\log_3(e-1)=1$ și $e=4\in M$ .3 p
Verificarea $4*x=x$ și concluzia de element neutru.2 p

II.2.c5 p

Determinați $x\in M$ pentru care $x*x*x=x*x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=4$

Barem oficial

Calculul expresiilor lui $x*x$ și $x*x*x$ .2 p
Egalarea exponenților și obținerea lui $\log_3(x-1)=0$ sau $1$ , apoi excluderea lui $x=2$ și păstrarea lui $x=4$ .3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=\sqrt{e^{2x}+x^4+2}$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f\prime(x)=\dfrac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$ , pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Aplicarea regulii radicalului cu derivata interioară $2e^{2x}+4x^3$ .3 p
Simplificarea factorului $2$ și formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Demonstrați că tangenta la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $0$ este paralelă cu dreapta $x-\sqrt3\,y=0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul pantei tangentei $f\prime(0)=1/\sqrt3$ .2 p
Calculul pantei dreptei date și concluzia de paralelism.3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că funcția $f$ are un unic punct de extrem.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Studiul creșterii stricte a lui $g(x)=e^{2x}+2x^3$ și existența unui singur zero.2 p
Semnul derivatei lui $f$ și demonstrarea unicului extrem.3 p

III.2

Se consideră $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=\dfrac12\left(\dfrac1{x^2+1}-\dfrac1{x^2+3}\right)$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\displaystyle\int_0^1\left(2f(x)+\dfrac1{x^2+3}\right)dx=\dfrac\pi4$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea integrandului la $1/(x^2+1)$ și primitiva $\arctan x$ .3 p
Rezultatul $\pi/4$ .2 p

III.2.b5 p

Demonstrați că orice primitivă $F$ a lui $f$ este strict crescătoare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Pentru o primitivă, $F\prime=f$ și aducerea fracțiilor la numitor comun.3 p
Obținerea lui $F\prime=1/((x^2+1)(x^2+3))>0$ și creșterea strictă.2 p

III.2.c5 p

Arătați că pentru orice $a<b$ și orice primitivă $F$ a lui $f$ , $\displaystyle\int_a^b f(x)F^2(x)\,dx>0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul integralei ca $(F^3(b)-F^3(a))/3$ .3 p
Folosirea creșterii stricte a lui $F$ și pozitivitatea integralei.2 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.