Bacalaureat 2022 la mate M1: iunie

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 8−66+6(6−1)=28-6\sqrt6+6(\sqrt6-1)=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dezvoltarea și reducerea radicalilor.3 p
  2. Rezultatul 2.2 p

I.25 p

Fie f(x)=3x+mf(x)=3x+m. Determinați m∈Rm\in\mathbb R pentru c are (f∘f)(0)=4(f\circ f)(0)=4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=1m=1

Barem oficial

  1. Calculul compunerii 4 m.3 p
  2. m=1.2 p

I.35 p

Rezolvați în numere reale ecuația 3⋅22x+4x=43\cdot2^{2x}+4^x=4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=0x=0

Barem oficial

  1. Rescrierea și reducerea.3 p
  2. x=0.2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales dintre numerele naturale de două cifre să aibă cifra zecilor divizor al lui 6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 4/94/9

Barem oficial

  1. 90 de cazuri posibile.2 p
  2. 40 favorabile și probabilitatea 4/9.3 p

I.55 p

Fie dreapta d:y=3x−2d:y=3x-2 și A(a,a)A(a,a). Determinați a∈Ra\in\mathbb R, știind că A aparține lui d.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=1a=1

Barem oficial

  1. Ecuația de apartenență.3 p
  2. a=1.2 p

I.65 p

Fie ABC isoscel cu AB=10AB=10 și cos⁡A=0\cos A=0. Arătați că aria este 50.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Unghiul A este drept.2 p
  2. Catetele egale și aria 50.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră A(x)=(1−xx201−2x001)A(x)=\begin{pmatrix}1&-x&x^2\\0&1&-2x\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x∈Rx\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(1)=1\det A(1)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea determinantului la 1.2 p
  2. Calculul 1.3 p

II.1.b5 p

Arătați că A(x)A(y)=A(x+y)A(x)A(y)=A(x+y) pentru orice x, y reale.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul produsului.3 p
  2. Identificarea lui A(x+y).2 p

II.1.c5 p

Determinați n∈Nn\in\mathbb N pentru c are A(n)A(n+1)A(n+2)A(n+3)=A(2n2)A(n)A(n+1)A(n+2)A(n+3)=A(2n^2).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n=3n=3

Barem oficial

  1. Reducerea produsului la A(4 n+6).3 p
  2. Ecuația și n=3.2 p

II.2

Pe M=[0,+∞)M=[0,+\infty) se definește x∗y=2xy+2+2yx+2x*y=\dfrac{2x}{y+2}+\dfrac{2y}{x+2}.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗0=11*0=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea în lege.3 p
  2. Rezultatul 1.2 p

II.2.b5 p

Arătați că e=0e=0 este elementul neutru al legii *.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. x*0=x.2 p
  2. 0*x=x și concluzia.3 p

II.2.c5 p

Determinați x∈Mx\in M, x nenul, pentru c are x∗(4/x)=xx*(4/x)=x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Barem oficial

  1. Simplificarea compunerii.3 p
  2. Ecuația și x=2.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=2+xex−xf(x)=2+\dfrac{x}{e^x-x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=ex(1−x)(ex−x)2f\prime(x)=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}, pentru orice x real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Regula raportului.3 p
  2. Simplificarea în forma cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați intervalele de monotonie ale lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: Crescătoare pe (−∞,1](-\infty,1], descrescătoare pe [1,+∞)[1,+\infty).

Barem oficial

  1. Semnul derivatei și primul interval.3 p
  2. Al doilea interval.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că, pentru orice m∈(1,2]m\in(1,2], ecuația f(x)=m are soluție unică.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Limitele relevante și valorile funcției.3 p
  2. Continuitatea, monotonia și unicitatea pe întreg domeniul.2 p

III.2

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=3−x+x2+9f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫15(f(x)−x2+9) dx=0\int_1^5(f(x)-\sqrt{x^2+9})\,dx=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea și primitiva.3 p
  2. Evaluarea 0.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫04xf(x)+x−3 dx=2\int_0^4\dfrac{x}{f(x)+x-3}\,dx=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea și primitiva.3 p
  2. Evaluarea 2.2 p

III.2.c5 p

Pentru n∈N∗n\in\mathbb N^*, fie In=∫01xn/f(x) dxI_n=\int_0^1x^n/f(x)\,dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\lim_{n\to+\infty}I_n=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea integralei cu f explicit.2 p
  2. Majorare și teorema celor două limite.3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.