Bacalaureat 2022 la mate M1: model

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 6−336-3\sqrt3, 3\sqrt3 și 2+32+\sqrt3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Produsul extremelor egal cu 3.3 p
  2. Egalitatea cu pătratul termenului mijlociu și concluzia.2 p

I.25 p

Fie f(x)=x2+mx+1f(x)=x^2+mx+1. Determinați m real pentru c are axa Ox este tangentă graficului.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m∈{−2,2}m\in\{-2,2\}

Barem oficial

  1. Condiția discriminant nul.3 p
  2. Cele două valori-2,2.2 p

I.35 p

Rezolvați în numere reale ecuația 5x+2=5x+245^{x+2}=5^x+24.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=0x=0

Barem oficial

  1. Factorizarea și 5^x=1.3 p
  2. x=0.2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales dintre numerele naturale de două cifre distincte să aibă cifra zecilor multiplu de 3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1/31/3

Barem oficial

  1. 81 posibile.2 p
  2. 27 favorabile.2 p
  3. Probabilitatea 1/3.1 p

I.55 p

Fie ABC triunghi, D mijlocul lui AC și M astfel încât MA→+2MB→+3MC→=0⃗\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec0. Arătați că MD și AB sunt paralele.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Relația MD=-AB/3.3 p
  2. Coliniaritatea și paralelismul.2 p

I.65 p

Calculați AB într-un triunghi ABC cu AC=3AC=3, A=30∘A=30^\circ, B=60∘B=60^\circ.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: AB=23AB=2\sqrt3

Barem oficial

  1. Unghiul Cdrept.2 p
  2. Raportul sinusului și AB.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, B=(1010i0−20−1)B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix} și A(z)=aI3+bBA(z)=aI_3+bB, unde z=a+ibz=a+ib, a,b∈Ra,b\in\mathbb R, i2=−1i^2=-1.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡B=i\det B=i.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dezvoltarea determinantului.3 p
  2. Valoarea i.2 p

II.1.b5 p

Demonstrați că A(z1)A(z2)=A(z1z2)A(z_1)A(z_2)=A(z_1z_2) pentru orice complexe z 1, z 2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. B^2=-I și dezvoltarea produsului.3 p
  2. Identificarea cu A(z 1 z 2).2 p

II.1.c5 p

Determinați n∈Nn\in\mathbb N pentru c are A(1+i)A(2+i)A(3+i)A(1−i)A(2−i)A(3−i)=nI3A(1+i)A(2+i)A(3+i)A(1-i)A(2-i)A(3-i)=nI_3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n=100n=100

Barem oficial

  1. Reducerea produsului la A al produsului complex.2 p
  2. Perechile conjugate și n=100.3 p

II.2

Pe M=[1,+∞)M=[1,+\infty) se definește legea asociativă x∗y=log⁡2(2x+y−2x+1−2y+1+6)x*y=\log_2(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6).

II.2.a5 p

Arătați că x∗y=log⁡2((2x−2)(2y−2)+2)x*y=\log_2((2^x-2)(2^y-2)+2) pentru x, y în M.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dezvoltarea/factorizarea argumentului.3 p
  2. Forma cerută.2 p

II.2.b5 p

Determinați elementul neutru al legii *.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: e=log⁡23e=\log_23

Barem oficial

  1. Determinarea candidatului e=log 2 3.3 p
  2. Verificarea bilaterală și apartenența la M.2 p

II.2.c5 p

Arătați că x∗x∗x<3xx*x*x<3x pentru orice x∈Mx\in M.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Formula compunerii triple.3 p
  2. Diferența strict pozitivă și inegalitatea.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=(x3+3x+1)e−xf(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(2−x)(x2−x+1)e−xf\prime(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x} pentru orice x real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea produsului.3 p
  2. Factorizarea.2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→+∞(f(x)−e−xf(x)+e−x)f(x)ex=e−2\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)^{f(x)e^x}=e^{-2}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Rescrierea formei și limita fundamentală.3 p
  2. Calculul exponentului-2 și rezultatul.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că g(x)=∣f(x)/e−x−1∣g(x)=|f(x)/e^{-x}-1| are un singur punct de extrem.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Forma pe cele două intervale.2 p
  2. Derivatele, monotonia și unicitatea extremului.3 p

III.2

Se consideră f:(1,+∞)→Rf:(1,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=xln⁡(x−1)f(x)=x\ln(x-1).

III.2.a5 p

Arătați că ∫46f(x)/ln⁡(x−1) dx=10\int_4^6f(x)/\ln(x-1)\,dx=10.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea și primitiva.3 p
  2. Valoarea 10.2 p

III.2.b5 p

Demonstrați că F(7)<F(3)F(\sqrt7)<F(3) pentru orice primitivă F a lui f.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Monotonia strictă a primitivei pe(2, inf).3 p
  2. Comparația argumentelor.2 p

III.2.c5 p

Determinați m∈Rm\in\mathbb R pentru c are ∫35f(x) dx=m(4ln⁡2−1)\int_3^5f(x)\,dx=m(4\ln2-1).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=5m=5

Barem oficial

  1. Integrarea prin părți.3 p
  2. Evaluarea și m=5.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.