Bacalaureat 2021 la mate M1: model

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că N=log⁡26−2log⁡23+log⁡224N=\log_2 6-2\log_2 3+\log_2 24 este număr natural.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Combinarea logaritmilor: N=log⁡2(6⋅24/9)N=\log_2(6\cdot24/9).3 p
  2. Calculul N=log⁡216=4∈NN=\log_2 16=4\in\mathbb N.2 p

I.25 p

Fie f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x2−x+2f(x)=x^2-x+2. Arătați că dreapta y=2y=2 intersectează graficul lui ff în două puncte distincte.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea intersecției la x2−x=0x^2-x=0.2 p
  2. Existența celor două rădăcini reale distincte și concluzia de două puncte distincte.3 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația x2−5=3x−1\sqrt{x^2-5}=\sqrt{3x-1}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=4x=4

Barem oficial

  1. Egalarea argumentelor și ecuația x2−3x−4=0x^2-3x-4=0.2 p
  2. Obținerea rădăcinilor −1,4-1,4, excluderea lui −1-1 și păstrarea lui 44.3 p

I.45 p

Determinați cardinalul unei mulțimi AA care are exact 1515 submulțimi cu două elemente.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: ∣A∣=6|A|=6

Barem oficial

  1. Identificarea numărului de submulțimi cu două elemente ca (n2)\binom n2, n≥2n\ge2.2 p
  2. Ecuația n(n−1)/2=15n(n-1)/2=15 și obținerea cardinalului 66.3 p

I.55 p

În triunghiul ABCABC, punctele M,N,PM,N,P sunt mijloacele segmentelor BC,BM,CMBC,BM,CM, respectiv. Arătați că AM→+AN→+AP→=32(AB→+AC→)\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}=\dfrac32(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Din mijlocul lui BCBC, relația AM=(AB+AC)/2AM=(AB+AC)/2 în scriere vectorială.2 p
  2. Folosirea lui MM ca mijloc al lui NPNP, apoi suma celor trei vectori egală cu 3AM=32(AB+AC)3AM=\tfrac32(AB+AC).3 p

I.65 p

Determinați x∈(0,π)x\in(0,\pi), știind că sin⁡2x+2sin⁡2x=0\sin2x+2\sin^2x=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=3π4x=\dfrac{3\pi}4

Barem oficial

  1. Factorizarea 2sin⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=02\sin x(\cos x+\sin x)=0.2 p
  2. Folosirea intervalului x∈(0,π)x\in(0,\pi) și soluția 3π/43\pi/4.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea A(a,b,c)=(111abcbcacab)A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\bc&ac&ab\end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(0,1,2)=2\det A(0,1,2)=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea în A(0,1,2)A(0,1,2) și scrierea determinantului.2 p
  2. Calculul determinantului 22.3 p

II.1.b5 p

Demonstrați că det⁡A(a,b,c)=(b−a)(c−a)(c−b)\det A(a,b,c)=(b-a)(c-a)(c-b) pentru orice a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Operațiile de coloane C2−C1C_2-C_1 și C3−C1C_3-C_1.2 p
  2. Factorizarea și obținerea determinantului (b−a)(c−a)(c−b)(b-a)(c-a)(c-b).3 p

II.1.c5 p

Fie m,n,p∈Nm,n,p\in\mathbb N, m<n<pm<n<p, astfel încât det⁡A(m,n,p)\det A(m,n,p) este număr prim. Demonstrați că m,n,pm,n,p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Formula determinantului și pozitivitatea strictă a diferențelor p−mp-m, p−np-n, n−mn-m, cu prima mai mare decât celelalte.3 p
  2. Din primalitate, obținerea lui p−n=n−m=1p-n=n-m=1 și concluzia de progresie aritmetică.2 p

II.2

În Z3[X]\mathbb Z_3[X] se consideră polinomul f=X4+aX3+2^X+bf=X^4+aX^3+\widehat2X+b, unde a,b∈Z3a,b\in\mathbb Z_3. Toate calculele sunt modulo 33.

II.2.a5 p

Pentru a=1^a=\widehat1 și b=2^b=\widehat2, arătați că f(0^)+f(2^)=2^f(\widehat0)+f(\widehat2)=\widehat2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Pentru a=1^,b=2^a=\widehat1,b=\widehat2, calculul f(0^)=2^f(\widehat0)=\widehat2, f(2^)=0^f(\widehat2)=\widehat0.3 p
  2. Suma egală cu 2^\widehat2.2 p

II.2.b5 p

Determinați perechile (a,b)∈Z32(a,b)\in\mathbb Z_3^2 pentru care ff este divizibil cu X+2^X+\widehat2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (0^,0^),(1^,2^),(2^,1^)(\widehat0,\widehat0),(\widehat1,\widehat2),(\widehat2,\widehat1)

Barem oficial

  1. Teorema restului: divizibilitate cu X+2^X+\widehat2 dacă și numai dacă f(1^)=0^f(\widehat1)=\widehat0, deci a+b=0^a+b=\widehat0.3 p
  2. Enumerarea perechilor (0^,0^)(\widehat0,\widehat0), (1^,2^)(\widehat1,\widehat2), (2^,1^)(\widehat2,\widehat1).2 p

II.2.c5 p

Arătați că pentru orice a,b∈Z3a,b\in\mathbb Z_3 există x,y∈Z3x,y\in\mathbb Z_3, x≠yx\ne y, astfel încât f(x)=f(y)f(x)=f(y).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul sumei f(0^)+f(1^)+f(2^)=2^f(\widehat0)+f(\widehat1)+f(\widehat2)=\widehat2.3 p
  2. Dacă imaginile ar fi distincte, suma ar fi 0^+1^+2^=0^\widehat0+\widehat1+\widehat2=\widehat0, contradicție; deci există o coliziune.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=xexex+2f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x+2}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=ex(ex+2x+2)(ex+2)2f\prime(x)=\dfrac{e^x(e^x+2x+2)}{(e^x+2)^2}, pentru orice x∈Rx\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Aplicarea regulii produsului la xexxe^x și a regulii raportului.3 p
  2. Simplificarea numărătorului la ex(ex+2x+2)e^x(e^x+2x+2).2 p

III.1.b5 p

Arătați că dreapta y=xy=x este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul lui ff.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul pantei asimptotei: lim⁡x→+∞f(x)/x=1\lim_{x\to+\infty}f(x)/x=1.2 p
  2. Calculul lim⁡x→+∞(f(x)−x)=0\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0 și concluzia că y=xy=x este asimptotă.3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că funcția ff are un unic punct de extrem.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Studiul creșterii stricte și al limitelor lui g(x)=ex+2x+2g(x)=e^x+2x+2, cu un singur zero.3 p
  2. Semnul derivatei lui ff și unicitatea punctului de extrem.2 p

III.2

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=2(x+3)x2+4x+5f(x)=\dfrac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫01f(x)x2+4x+5 dx=7\displaystyle\int_0^1f(x)\sqrt{x^2+4x+5}\,dx=7.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea integrandului la 2(x+3)2(x+3) și primitiva x2+6xx^2+6x.3 p
  2. Evaluarea integralei la 77.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫01(f2(x)−4) dx=4ln⁡2\displaystyle\int_0^1(f^2(x)-4)\,dx=4\ln2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea lui f2−4f^2-4 la 4(2x+4)/(x2+4x+5)4(2x+4)/(x^2+4x+5).2 p
  2. Integrarea logaritmică și rezultatul 4ln⁡24\ln2.3 p

III.2.c5 p

Fie 0≤a<b0\le a<b și In=∫abfn(x) dxI_n=\displaystyle\int_a^b f^n(x)\,dx, n∈N∗n\in\mathbb N^*. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=+∞\lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Din f2−4≥0f^2-4\ge0 și f≥0f\ge0 pe [0,+∞)[0,+\infty), obținerea lui f≥2f\ge2 și fn≥2nf^n\ge2^n.2 p
  2. Integrarea și comparația In≥(b−a)2n→+∞I_n\ge(b-a)2^n\to+\infty.3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.