Bacalaureat 2021 la mate M1: iunie

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că $(1+i)^2-2(1+i)+2=0$ , unde $i^2=-1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Dezvoltarea $(1+i)^2-2(1+i)+2=1+2i+i^2-2-2i+2$ .3 p
Folosirea lui $i^2=-1$ și obținerea rezultatului $0$ .2 p

I.25 p

Se consideră $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2+ax-5$ , unde $a\in\mathbb R$ . Determinați $a$ știind că $M(1,2)$ aparține graficului lui $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=6$

Barem oficial

Condiția $f(1)=2$ , adică $1+a-5=2$ .3 p
Obținerea lui $a=6$ .2 p

I.35 p

Rezolvați în $\mathbb R$ ecuația $\log_4(x^2+1)=\log_4x+\log_4(x+1)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=1$

Barem oficial

Combinarea logaritmilor și egalitatea $x^2+1=x^2+x$ .3 p
Obținerea lui $x=1$ , care convine.2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales uniform dintre numerele naturale de două cifre să fie divizibil cu $2$ și cu $5$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac1{10}$

Barem oficial

Numărarea celor $90$ de cazuri posibile.2 p
Numărarea celor $9$ cazuri favorabile, multiplii lui $10$ .2 p
Calculul $P=9/90=1/10$ .1 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră $M(3,4)$ , $N(0,1)$ și $P(3,0)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin $P$ și este paralelă cu $MN$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=x-3$

Barem oficial

Calculul $m_{MN}=1$ și impunerea $m_d=1$ .3 p
Folosirea punctului $P$ și ecuația $y=x-3$ .2 p

I.65 p

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$ . Arătați că $\tan B=\dfrac1{\tan A}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Scrierea $\tan A=BC/AC$ .2 p
Scrierea $\tan B=AC/BC=1/\tan A$ .3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix}a+2&0&-a\\0&2&0\\3a&0&2-3a\end{pmatrix}$ , unde $a\in\mathbb R$ .

II.1.a5 p

Arătați că $\det A(0)=8$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Scrierea lui $A(0)=2I_3$ și a determinantului.2 p
Calculul determinantului $8$ .3 p

II.1.b5 p

Determinați $B\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ astfel încât $aB=A(a)-2I_3$ pentru orice $a\in\mathbb R$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\3&0&-3\end{pmatrix}$

Barem oficial

Calculul $A(a)-2I_3=\begin{pmatrix}a&0&-a\\0&0&0\\3a&0&-3a\end{pmatrix}$ pentru orice $a$ .3 p
Factorizarea lui $a$ și obținerea lui $B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\3&0&-3\end{pmatrix}$ .2 p

II.1.c5 p

Determinați numărul natural $n$ pentru care $\det(A(n)A(-n))>0$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $n=0$

Barem oficial

Calculul $\det(A(n)A(-n))=64(1-n^2)$ .3 p
Din pozitivitate și $n\in\mathbb N$ , obținerea lui $n=0$ .2 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x*y=\dfrac{x+y+|x-y|}{2}$ .

II.2.a5 p

Arătați că $2*0=2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea $2*0=(2+0+|2-0|)/2$ .3 p
Calculul rezultatului $2$ .2 p

II.2.b5 p

Demonstrați că, dacă $a,b\in\mathbb R$ și $a\le b$ , atunci $a*b=b$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Din $a\le b$ , scrierea $|a-b|=b-a$ .2 p
Înlocuirea în lege și simplificarea la $b$ .3 p

II.2.c5 p

Determinați $x\in\mathbb R$ pentru care $(2x)*(x^2+1)*(-2x)=10$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x\in\{-3,3\}$

Barem oficial

Dovedirea lui $x^2+1\ge2x$ și $x^2+1\ge-2x$ , apoi reducerea operației triple la $x^2+1$ .3 p
Rezolvarea $x^2+1=10$ : $x=-3$ sau $x=3$ .2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x-\sqrt{x^2+3}$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f\prime(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$ , pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Aplicarea regulii de derivare a radicalului: $f\prime(x)=1-2x/(2\sqrt{x^2+3})$ .3 p
Simplificarea în forma $(\sqrt{x^2+3}-x)/\sqrt{x^2+3}$ .2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul lui $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=0$

Barem oficial

Raționalizarea și calculul limitei $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ .3 p
Identificarea asimptotei $y=0$ .2 p

III.1.c5 p

Determinați mulțimea valorilor reale $a$ pentru care ecuația $f(x)=a$ are soluție.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a\in(-\infty,0)$

Barem oficial

Stabilirea lui $f\prime(x)>0$ și a creșterii stricte.2 p
Folosirea continuității și a limitelor $-\infty$ , respectiv $0$ , pentru $a\in(-\infty,0)$ .3 p

III.2

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=\dfrac{x}{x^2+x+3}$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\displaystyle\int_0^2(x^2+x+3)f(x)\,dx=2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea integrandului la $x$ și primitiva $x^2/2$ .3 p
Evaluarea integralei la $2$ .2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\displaystyle\int_1^2g(x)\,dx=\ln\dfrac95$ , unde $g:(0,+\infty)\to\mathbb R$ , $g(x)=\dfrac{2x+1}{x}f(x)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea la $(2x+1)/(x^2+x+3)$ și recunoașterea derivatei numitorului.3 p
Evaluarea primitivei logaritmice: $\ln9-\ln5=\ln(9/5)$ .2 p

III.2.c5 p

Fie $0\le a<b$ și $I_n=\displaystyle\int_a^b f^n(x)\,dx$ pentru $n\in\mathbb N^*$ . Demonstrați că $\lim_{n\to+\infty}I_n=0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Încadrarea $0\le f(x)\le1/2$ și $0\le f^n(x)\le2^{-n}$ pentru $x\ge0$ .2 p
Integrarea bornelor și trecerea la limită: $0\le I_n\le(b-a)2^{-n}\to0$ .3 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.