Bacalaureat 2024 la mate M1: iunie

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 2lg⁡100+lg⁡2+lg⁡5=52\lg100+\lg2+\lg5=5.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Valorile logaritmilor și folosirea lui lg⁡2+lg⁡5=lg⁡10\lg2+\lg5=\lg10.3 p
  2. Calculul final 5.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=x−6 f(x)=x-6, determinați a∈R a\in\mathbb R astfel încât f(a)+f(3a)=0 f(a)+f(3a)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=3 a=3

Barem oficial

  1. Calcularea lui f(a) f(a) și f(3a) f(3a).3 p
  2. Rezolvarea ecuației și a=3 a=3.2 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația 53x⋅52=5x5^{3x}\cdot5^2=5^x .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1 x=-1

Barem oficial

  1. Adunarea exponenților și egalarea lor.3 p
  2. Calculul x=−1 x=-1.2 p

I.45 p

Câte submulțimi cu două elemente, ambele pare, are A={1,2,4,6,8,9} A=\{1,2,4,6,8,9\}?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 66

Barem oficial

  1. Cele 4 numere pare ale mulțimii.2 p
  2. Numărul de submulțimi (42)=6\binom42=6.3 p

I.55 p

Fie A(3,1) A(3,1) și B(3,0) B(3,0). Determinați C C pentru care AC→=OB→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: C(6,1) C(6,1)

Barem oficial

  1. Coordonatele vectorilor AC→\overrightarrow{AC} și OB→\overrightarrow{OB}.3 p
  2. Egalarea lor și coordonatele C(6,1) C(6,1).2 p

I.65 p

Triunghiul ABC ABC este dreptunghic în A A , are aria 18 și B=π/4 B=\pi/4. Arătați că AB=6 AB=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Egalitatea catetelor AB=AC AB=AC .2 p
  2. Folosirea ariei și AB=6 AB=6.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie M(x)=(x000x+2x02xx+2) M(x)=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x+2&x\\0&2x&x+2\end{pmatrix}, x∈R x\in\mathbb R .

II.1.a5 p

Arătați că det⁡M(1)=7\det M(1)=7.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea matricei M(1) M(1) și a determinantului său.2 p
  2. Calcularea determinantului 7.3 p

II.1.b5 p

Determinați x∈R x\in\mathbb R pentru care M(x)M(2)=M(x−1) M(x)M(2)=M(x-1).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1 x=-1

Barem oficial

  1. Calcularea lui M(2) M(2) și a produsului M(x)M(2) M(x)M(2).3 p
  2. Egalarea cu M(x−1) M(x-1) și x=−1 x=-1.2 p

II.1.c5 p

Determinați n∈N n\in\mathbb N pentru care 2det⁡M(n)≤det⁡M(2n)2\det M(n)\le\det M(2n).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n∈{0,1} n\in\{0,1\}

Barem oficial

  1. Calcularea celor doi determinanți în funcție den.2 p
  2. Inegalitatea și soluțiile naturale 0, 1.3 p

II.2

Fie f=X3−2X2−aX+2a f=X^3-2X^2-aX+2a , a∈R a\in\mathbb R .

II.2.a5 p

Arătați că f(2)=0 f(2)=0 pentru orice a∈R a\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea lui 2 în polinom.3 p
  2. Reducerea termenilor și f(2)=0 f(2)=0.2 p

II.2.b5 p

Pentru a=1 a=1, arătați că f f este divizibil cu g=X+1 g=X+1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea lui f(−1) f(-1) pentru a=1 a=1.3 p
  2. Valoarea 0 și concluzia de divizibilitate.2 p

II.2.c5 p

Determinați a>0 a>0 pentru care ∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣=8|x_1|+|x_2|+|x_3|=8, unde x1,x2,x3 x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile lui f f .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=9 a=9

Barem oficial

  1. Factorizarea și suma modulelor 2+2a2+2\sqrt a .3 p
  2. Ecuația și soluția a=9 a=9.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=ex(2x−4)+x2−2x+4 f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=2(x−1)(ex+1) f\prime(x)=2(x-1)(e^x+1), x∈R x\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea produsului și polinomului.3 p
  2. Factorizarea la formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→0f(x)1−ex=4\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-e^x}=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Forma 0/0 și aplicarea regulii lui l Hospital.3 p
  2. Calcularea limitei 4.2 p

III.1.c5 p

Arătați că ecuația f(x)=0 f(x)=0 are exact două soluții.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Semnul derivatei și cele două ramuri de monotonie.2 p
  2. Continuitatea, valoarea minimă negativă și exact două rădăcini.3 p

III.2

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=4x3x2+1 f(x)=\frac{4x}{3x^2+1}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫34f(x)(3x2+1) dx=14\int_3^4 f(x)(3x^2+1)\,dx=14.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea integrandului și primitiva 2x22x^2.3 p
  2. Calculul la capete, rezultat 14.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫01f(x) dx=43ln⁡2\int_0^1 f(x)\,dx=\frac43\ln2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Primitiva 23ln⁡(3x2+1)\frac23\ln(3x^2+1).3 p
  2. Calculul la capete și rezultatul 43ln⁡2\frac43\ln2.2 p

III.2.c5 p

Pentru g(x)=4ln⁡x/f(x) g(x)=4\ln x/f(x), x>0 x>0, arătați că aria dintre grafic,Ox Ox și x=1 x=1, x=e x=e este 3e2+54\frac{3e^2+5}4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea lui g g , pozitivitatea și integrarea prin părți.3 p
  2. Calculul final (3e2+5)/4(3e^2+5)/4.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.