Bacalaureat 2024 la matematică M1: sesiunea specială

Subiectul oficial M1, sesiunea specială 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\ge1}, în care a1=2a_1=2 și a2=12a_2=12.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a3=22a_3=22

Criterii (după barem)

  1. a2=a1+a32⇒12=2+a32a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}\Rightarrow12=\dfrac{2+a_3}{2}3 p
  2. a3=22a_3=222 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x−8f(x)=x-8. Determinați numărul real mm pentru care f(1+m)=1−mf(1+m)=1-m.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=4m=4

Criterii (după barem)

  1. f(1+m)=m−7f(1+m)=m-7, pentru orice număr real mm2 p
  2. m−7=1−mm-7=1-m, de unde obținem m=4m=43 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x2−3x+5)=lg⁡5\lg\left(x^2-3x+5\right)=\lg5.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=0x=0 sau x=3x=3

Criterii (după barem)

  1. x2−3x+5=5x^2-3x+5=5, de unde obținem x2−3x=0x^2-3x=03 p
  2. x=0x=0 sau x=3x=3, care convin2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul n+1\sqrt{n+1} să fie natural.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=790p=\dfrac7{90}

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 77 numere nn pentru care numărul n+1\sqrt{n+1} este natural, deci sunt 77 cazuri favorabile, de unde obținem p=790p=\dfrac7{90}3 p

I.55 p

În sistemul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(3,0)B(3,0) și C(5,a)C(5,a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că dreptele OAOA și BCBC sunt paralele.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Criterii (după barem)

  1. mOA=2m_{OA}=22 p
  2. mBC=a2m_{BC}=\dfrac a2 și, cum mOA=mBCm_{OA}=m_{BC}, obținem a=4a=43 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=9AC=9 și B=π3B=\dfrac\pi3. Arătați că AB=33AB=3\sqrt3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. tg⁡B=ACAB\operatorname{tg}B=\dfrac{AC}{AB}, deci 3=9AB\sqrt3=\dfrac9{AB}3 p
  2. AB=93=33AB=\dfrac9{\sqrt3}=3\sqrt32 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea A(x)=(1xx00x−1x11)A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x\\0&0&x-1\\x&1&1\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(2))=3\det\big(A(2)\big)=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(2)=(122001211)⇒det⁡(A(2))=∣122001211∣=A(2)=\begin{pmatrix}1&2&2\\0&0&1\\2&1&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(2)\big)=\begin{vmatrix}1&2&2\\0&0&1\\2&1&1\end{vmatrix}=2 p
  2. =0+0+4−0−1−0=3=0+0+4-0-1-0=33 p

II.1.b5 p

Determinați numărul real xx pentru care A(x)⋅A(1)=2A(x)A(x)\cdot A(1)=2A(x).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. A(1)=(111000111)A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}, A(x)⋅A(1)=(1+x1+x1+xx−1x−1x−1x+1x+1x+1)A(x)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1+x&1+x&1+x\\x-1&x-1&x-1\\x+1&x+1&x+1\end{pmatrix}, pentru orice număr real xx3 p
  2. (1+x1+x1+xx−1x−1x−1x+1x+1x+1)=(22x2x002x−22x22)\begin{pmatrix}1+x&1+x&1+x\\x-1&x-1&x-1\\x+1&x+1&x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2x&2x\\0&0&2x-2\\2x&2&2\end{pmatrix}, de unde obținem x=1x=12 p

II.1.c5 p

Arătați că, dacă matricea A(x)A(x) este inversabilă, atunci și matricea A(−x)A(-x) este inversabilă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. det⁡(A(x))=(x−1)2(x+1)\det\big(A(x)\big)=(x-1)^2(x+1) și det⁡(A(x))≠0\det\big(A(x)\big)\ne0, deci x∈R∖{−1,1}x\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}3 p
  2. Cum −x∈R∖{−1,1}-x\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}, obținem det⁡(A(−x))≠0\det\big(A(-x)\big)\ne0, deci A(−x)A(-x) este inversabilă2 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y−14x\circ y=xy+\dfrac{2x+2y-1}{4}.

II.2.a5 p

Arătați că 1∘1=741\circ1=\dfrac74.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 1∘1=1⋅1+2⋅1+2⋅1−14=1\circ1=1\cdot1+\dfrac{2\cdot1+2\cdot1-1}{4}=3 p
  2. =1+34=74=1+\dfrac34=\dfrac742 p

II.2.b5 p

Arătați că e=12e=\dfrac12 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∘12=x⋅12+2x+2⋅12−14=x2+x2=xx\circ\dfrac12=x\cdot\dfrac12+\dfrac{2x+2\cdot\frac12-1}{4}=\dfrac x2+\dfrac x2=x, pentru orice număr real xx2 p
  2. 12∘x=12⋅x+2⋅12+2x−14=x2+x2=x\dfrac12\circ x=\dfrac12\cdot x+\dfrac{2\cdot\frac12+2x-1}{4}=\dfrac x2+\dfrac x2=x, pentru orice număr real xx, deci e=12e=\dfrac12 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”3 p

II.2.c5 p

Determinați numerele reale xx pentru care (12−x)∘(12+x)∘(12+x2)=12−x2\left(\dfrac12-x\right)\circ\left(\dfrac12+x\right)\circ\left(\dfrac12+x^2\right)=\dfrac12-x^2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1x=-1 sau x=0x=0 sau x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. (12−x)∘(12+x)=12−x2\left(\dfrac12-x\right)\circ\left(\dfrac12+x\right)=\dfrac12-x^2, (12−x)∘(12+x)∘(12+x2)=12−x4\left(\dfrac12-x\right)\circ\left(\dfrac12+x\right)\circ\left(\dfrac12+x^2\right)=\dfrac12-x^4, pentru orice număr real xx2 p
  2. 12−x4=12−x2\dfrac12-x^4=\dfrac12-x^2, de unde obținem x=−1x=-1 sau x=0x=0 sau x=1x=13 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf:(1,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=4x3(x−1)2f(x)=\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=4x2(x−3)(x−1)3f'(x)=\dfrac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}, x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=12x2(x−1)2−4x3⋅2(x−1)(x−1)4=f'(x)=\dfrac{12x^2(x-1)^2-4x^3\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}=3 p
  2. =12x3−12x2−8x3(x−1)3=4x2(x−3)(x−1)3=\dfrac{12x^3-12x^2-8x^3}{(x-1)^3}=\dfrac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}, x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty)2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=4x+8y=4x+8

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞4x2(x−1)2=4\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2}{(x-1)^2}=42 p
  2. lim⁡x→+∞(f(x)−4x)=lim⁡x→+∞8x2−4x(x−1)2=8\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-4x\big)=\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^2-4x}{(x-1)^2}=8, deci dreapta de ecuație y=4x+8y=4x+8 este asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff3 p

III.1.c5 p

Arătați că ecuația f(x)=mf(x)=m are exact două soluții, pentru orice m∈(27,+∞)m\in(27,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇒x=3f'(x)=0\Rightarrow x=3; f′(x)<0f'(x)<0, pentru orice x∈(1,3)x\in(1,3), deci ff este strict descrescătoare pe (1,3)(1,3) și f′(x)>0f'(x)>0, pentru orice x∈(3,+∞)x\in(3,+\infty), deci ff este strict crescătoare pe (3,+∞)(3,+\infty)2 p
  2. lim⁡x→1f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=+\infty, f(3)=27f(3)=27, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty și ff este continuă, deci ecuația f(x)=mf(x)=m are exact două soluții pentru orice m∈(27,+∞)m\in(27,+\infty)3 p

III.2

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=x+1+xln⁡xf(x)=x+1+x\ln x.

III.2.a5 p

Arătați că ∫13(f(x)−xln⁡x) dx=6\displaystyle\int_1^3\big(f(x)-x\ln x\big)\,dx=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫13(f(x)−xln⁡x) dx=∫13(x+1) dx=(x22+x)∣13=\displaystyle\int_1^3\big(f(x)-x\ln x\big)\,dx=\int_1^3(x+1)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|_1^3=3 p
  2. =152−32=6=\dfrac{15}{2}-\dfrac32=62 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1e(f(x)−x−1) dx=e2+14\displaystyle\int_1^e\big(f(x)-x-1\big)\,dx=\frac{e^2+1}{4}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫1e(f(x)−x−1) dx=∫1e(x22)′ln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−x24∣1e=\displaystyle\int_1^e\big(f(x)-x-1\big)\,dx=\int_1^e\left(\frac{x^2}{2}\right)'\ln x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\ln x\right|_1^e-\left.\frac{x^2}{4}\right|_1^e=3 p
  2. =e22−e24+14=e2+14=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac14=\dfrac{e^2+1}{4}2 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real nenul aa pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,3]→Rg:[1,3]\to\mathbb R, g(x)=1(f(x)−xln⁡x)2g(x)=\dfrac1{\big(f(x)-x\ln x\big)^2} este egal cu 7π24a\dfrac{7\pi}{24a}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=8a=8

Criterii (după barem)

  1. g(x)=1(x+1)2g(x)=\dfrac1{(x+1)^2}, x∈[1,3]x\in[1,3], deci V=π∫13g2(x) dx=π∫131(x+1)4 dx=π(−13(x+1)3)∣13=7π192V=\pi\displaystyle\int_1^3g^2(x)\,dx=\pi\int_1^3\frac1{(x+1)^4}\,dx=\pi\left.\left(-\frac1{3(x+1)^3}\right)\right|_1^3=\frac{7\pi}{192}3 p
  2. 7π192=7π24a\dfrac{7\pi}{192}=\dfrac{7\pi}{24a}, de unde obținem a=8a=82 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M1.