Bacalaureat 2025 la mate M1: iunie

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Fie $z_1=1-i$ , $z_2=2+i$ . Arătați că $2z_1+iz_2=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Dezvoltarea expresiei $2(1-i)+i(2+i)=2-2i+2i+i^2$ .2 p
Folosirea lui $i^2=-1$ și rezultatul 1.3 p

I.25 p

Pentru $f(x)=x+3$ , determinați $a\in\mathbb R$ astfel încât $(f\circ f)(a)=9$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=3$

Barem oficial

Calcularea lui $f(a)$ și a compunerii $(f\circ f)(a)=a+6$ .3 p
Rezolvarea $a+6=9$ și rezultatul $a=3$ .2 p

I.35 p

Rezolvați în $\mathbb R$ ecuația $\sqrt{2x^2-3x+2}=x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x\in\{1,2\}$

Barem oficial

Ridicarea la pătrat și ecuația $x^2-3x+2=0$ .2 p
Soluțiile 1 și 2 și verificarea că ele convin.3 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales din numerele naturale de două cifre să fie divizor al lui $2^6$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\frac1{30}$

Barem oficial

Identificarea celor 90 de cazuri posibile.2 p
Cei 3 divizori favorabili și probabilitatea $1/30$ .3 p

I.55 p

Fie $A(0,1)$ , $B(5,0)$ , $C(6,3)$ , $D(a,b)$ , cu segmentele $AC$ și $BD$ având același mijloc. Determinați $a,b$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=1$ , $b=4$

Barem oficial

Coordonatele mijloacelor lui $AC$ și $BD$ .3 p
Egalarea coordonatelor și $a=1$ , $b=4$ .2 p

I.65 p

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ , cu $AB=2$ și $\operatorname{tg}B=3$ . Arătați că $BC=2\sqrt{10}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Folosirea tangentei și obținerea catetei $AC=6$ .3 p
Teorema lui Pitagora și $BC=2\sqrt{10}$ .2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie $A(x)=\begin{pmatrix}2-3x&0&x\\0&2&0\\-9x&0&2+3x\end{pmatrix}$ , $x\in\mathbb R$ .

II.1.a5 p

Arătați că $\det A(1)=8$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Scrierea lui $A(1)$ și a determinantului.2 p
Calcularea determinantului 8.3 p

II.1.b5 p

Arătați că $A(x)A(y)=2A(x+y)$ pentru orice $x,y\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calcularea produsului matricelor.3 p
Identificarea produsului cu $2A(x+y)$ .2 p

II.1.c5 p

Determinați $x\in\mathbb R$ pentru care $(A(x)+A(3x))A(2x)=4A(x^2)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x\in\{0,4\}$

Barem oficial

Folosirea identității de produs și obținerea $4A(4x)$ .3 p
Ecuația $4x=x^2$ și soluțiile 0, 4.2 p

II.2

Fie $f=aX^3+3X^2-aX-6$ , unde $a\in\mathbb R^*$ .

II.2.a5 p

Arătați că $f(1)=-3$ , pentru orice $a\in\mathbb R^*$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea lui 1 în polinom.3 p
Reducerea termenilor și rezultatul $-3$ .2 p

II.2.b5 p

Pentru $a=1$ , determinați câtul și restul împărțirii lui $f$ la $g=X^2+3X-1$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $q=X$ , $r=-6$

Barem oficial

Scrierea $f=Xg-6$ și identificarea câtului $X$ .3 p
Restul $-6$ .2 p

II.2.c5 p

Determinați $a\in\mathbb R^*$ pentru care $(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)=1$ , unde $x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile lui $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=3$

Barem oficial

Produsul rădăcinilor deplasate exprimat ca $-f(-1)/a$ .3 p
Folosirea condiției și obținerea lui $a=3$ .2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Fie $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=2x+\ln\frac{x}{x+2}$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f\prime(x)=\frac{2(x+1)^2}{x(x+2)}$ , $x>0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Derivarea expresiei logaritmice.3 p
Simplificarea la formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ a graficului lui $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=2x$

Barem oficial

Calcularea pantei asimptotei prin limita $f(x)/x=2$ .2 p
Limita $f(x)-2x=0$ și ecuația $y=2x$ .3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ este bijectivă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Derivata pozitivă, monotonia strictă și injectivitatea.2 p
Limitele la capete, continuitatea, surjectivitatea și bijectivitatea.3 p

III.2

Fie $f:(-1,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=\frac{x^2}{(x+1)^3}$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\int_0^3 f(x)(x+1)^3\,dx=9$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea la $x^2$ și primitiva $x^3/3$ .3 p
Calculul la capete, rezultat 9.2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\int_0^1\sqrt{f(x)(x+1)}\,dx=1-\ln2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea radicalului la $x/(x+1)$ și integrarea.3 p
Calculul la capete, rezultat $1-\ln2$ .2 p

III.2.c5 p

Pentru $g(x)=f(e^x)/e^x$ , arătați că aria dintre grafic, $Ox$ și $x=-1$ , $x=1$ este $\frac{e-1}{2(e+1)}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea lui $g$ , pozitivitatea și primitiva corectă.3 p
Calculul ariei $\frac{e-1}{2(e+1)}$ .2 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.