Bacalaureat 2025 la matematică M1: sesiunea specială

Subiectul oficial M1, sesiunea specială 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați termenul b1b_1 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n\ge1}, în care b2=20b_2=20 și b3=100b_3=100.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: b1=4b_1=4

Criterii (după barem)

  1. q=b3b2=5q=\dfrac{b_3}{b_2}=5, unde qq este rația progresiei geometrice3 p
  2. b1=b2q=4b_1=\dfrac{b_2}{q}=42 p

I.25 p

Se consideră funcțiile f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=4x+3f(x)=4x+3 și g:R→Rg:\mathbb R\to\mathbb R, g(x)=x−3g(x)=x-3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=g(a)f(a)=g(a).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−2a=-2

Criterii (după barem)

  1. f(a)=4a+3f(a)=4a+3, g(a)=a−3g(a)=a-3, pentru orice număr real aa3 p
  2. 4a+3=a−34a+3=a-3, de unde obținem a=−2a=-22 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x⋅33=3x+29^x\cdot3^3=3^{x+2}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1x=-1

Criterii (după barem)

  1. 32x+3=3x+23^{2x+3}=3^{x+2}, de unde obținem 2x+3=x+22x+3=x+23 p
  2. x=−1x=-12 p

I.45 p

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n\sqrt n să fie număr natural par.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=130p=\dfrac1{30}

Criterii (după barem)

  1. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 33 numere nn pentru care n\sqrt n este număr natural par, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=390=130p=\dfrac3{90}=\dfrac1{30}3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1,3), B(6,2)B(6,2) și C(4,a)C(4,a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care dreptele ACAC și OBOB sunt paralele.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Criterii (după barem)

  1. mOB=13m_{OB}=\dfrac132 p
  2. mAC=a−33m_{AC}=\dfrac{a-3}{3} și, cum mOB=mACm_{OB}=m_{AC}, obținem a=4a=43 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu aria egală cu 3232 și BC=AB2BC=AB\sqrt2. Arătați că AC=8AC=8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ABBC=12\dfrac{AB}{BC}=\dfrac1{\sqrt2}, de unde obținem B=π4B=\dfrac{\pi}{4}, deci AB=ACAB=AC3 p
  2. AB⋅AC2=32\dfrac{AB\cdot AC}{2}=32, de unde obținem AC=8AC=82 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și M(x)=(2x3x−3−x−2x100x+1)M(x)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(M(0))=0\det\big(M(0)\big)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. M(0)=(00−3001001)⇒det⁡(M(0))=∣00−3001001∣=M(0)=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(M(0)\big)=\begin{vmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{vmatrix}=2 p
  2. =0+0+0−0−0−0=0=0+0+0-0-0-0=03 p

II.1.b5 p

Arătați că M(x)⋅M(y)−xyI3=(x+y+1)M(0)M(x)\cdot M(y)-xyI_3=(x+y+1)M(0), pentru orice numere reale xx și yy.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. M(x)⋅M(y)−xyI3=(xy0−3x−3y−30xyx+y+100xy+x+y+1)−(xy000xy000xy)=M(x)\cdot M(y)-xyI_3=\begin{pmatrix}xy&0&-3x-3y-3\\0&xy&x+y+1\\0&0&xy+x+y+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}xy&0&0\\0&xy&0\\0&0&xy\end{pmatrix}=3 p
  2. =(00−3(x+y+1)00x+y+100x+y+1)=(x+y+1)M(0)=\begin{pmatrix}0&0&-3(x+y+1)\\0&0&x+y+1\\0&0&x+y+1\end{pmatrix}=(x+y+1)M(0), pentru orice numere reale xx și yy2 p

II.1.c5 p

Determinați numărul real xx pentru care M(1)⋅M(x)−M(2)⋅M(x2)=2M(0)M(1)\cdot M(x)-M(2)\cdot M\left(\dfrac x2\right)=2M(0).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=6x=6

Criterii (după barem)

  1. M(1)⋅M(x)−M(2)⋅M(x2)=xI3+(x+2)M(0)−xI3−(x2+3)M(0)=(x2−1)M(0)M(1)\cdot M(x)-M(2)\cdot M\left(\dfrac x2\right)=xI_3+(x+2)M(0)-xI_3-\left(\dfrac x2+3\right)M(0)=\left(\dfrac x2-1\right)M(0), pentru orice număr real xx3 p
  2. (x2−1)M(0)=2M(0)\left(\dfrac x2-1\right)M(0)=2M(0), de unde obținem x=6x=62 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x−1)(y−1)+1x*y=5(x-1)(y-1)+1.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗3=11*3=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 1∗3=5(1−1)(3−1)+1=1*3=5(1-1)(3-1)+1=3 p
  2. =0+1=1=0+1=12 p

II.2.b5 p

Arătați că e=65e=\dfrac65 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∗65=5(x−1)(65−1)+1=x−1+1=xx*\dfrac65=5(x-1)\left(\dfrac65-1\right)+1=x-1+1=x, pentru orice număr real xx2 p
  2. 65∗x=5(65−1)(x−1)+1=x−1+1=x\dfrac65*x=5\left(\dfrac65-1\right)(x-1)+1=x-1+1=x, pentru orice număr real xx, deci e=65e=\dfrac65 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”3 p

II.2.c5 p

Determinați perechile (m,n)(m,n) de numere naturale pentru care m25\dfrac{m}{25} este simetricul elementului nn în raport cu legea de compoziție „∗*”.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (24,0)(24,0) și (26,2)(26,2)

Criterii (după barem)

  1. m25∗n=n∗m25=65\dfrac{m}{25}*n=n*\dfrac{m}{25}=\dfrac65, de unde obținem 5(m25−1)(n−1)+1=5(n−1)(m25−1)+1=655\left(\dfrac{m}{25}-1\right)(n-1)+1=5(n-1)\left(\dfrac{m}{25}-1\right)+1=\dfrac653 p
  2. (m−25)(n−1)=1(m-25)(n-1)=1 și, cum mm și nn sunt numere naturale, obținem perechile (24,0)(24,0) și (26,2)(26,2)2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=2x−2+ln⁡xxf(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=3−ln⁡xx2f'(x)=\dfrac{3-\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=(2+1x)⋅x−(2x−2+ln⁡x)x2=f'(x)=\dfrac{\left(2+\frac1x\right)\cdot x-(2x-2+\ln x)}{x^2}=3 p
  2. =2x+1−2x+2−ln⁡xx2=3−ln⁡xx2=\dfrac{2x+1-2x+2-\ln x}{x^2}=\dfrac{3-\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→1f(x)ln⁡x=3\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→1f(x)ln⁡x=lim⁡x→12x−2+ln⁡xxln⁡x=lim⁡x→1(2x−2+ln⁡x)′(xln⁡x)′=\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{2x-2+\ln x}{x\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{(2x-2+\ln x)'}{(x\ln x)'}=3 p
  2. =lim⁡x→12+1xln⁡x+1=3\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{2+\frac1x}{\ln x+1}=32 p

III.1.c5 p

Determinați cel mai mare număr întreg mm pentru care ecuația f(x)=mf(x)=m are cel puțin o soluție.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=2m=2

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=e3f'(x)=0\Leftrightarrow x=e^3; pentru orice x∈(0,e3]x\in\left(0,e^3\right], f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe (0,e3]\left(0,e^3\right] și, pentru orice x∈[e3,+∞)x\in\left[e^3,+\infty\right), f′(x)≤0f'(x)\le0, deci ff este descrescătoare pe [e3,+∞)\left[e^3,+\infty\right)2 p
  2. lim⁡x→0f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=-\infty, f(e3)=2+1e3∈(2,3)f\left(e^3\right)=2+\dfrac1{e^3}\in(2,3) și ff este continuă, deci cel mai mare număr întreg mm pentru care ecuația f(x)=mf(x)=m are cel puțin o soluție este 223 p

III.2

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x+4exf(x)=\dfrac{x+4}{e^x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫02f(x)ex dx=10\displaystyle\int_0^2f(x)e^x\,dx=10.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫02f(x)ex dx=∫02(x+4) dx=(x22+4x)∣02=\displaystyle\int_0^2f(x)e^x\,dx=\int_0^2(x+4)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}+4x\right)\right|_0^2=3 p
  2. =2+8=10=2+8=102 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫01f(x) dx=5−6e\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=5-\frac6e.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫01f(x) dx=∫01(x+4)(−e−x)′dx=(x+4)(−e−x)∣01−e−x∣01=\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1(x+4)\left(-e^{-x}\right)'dx=\left.(x+4)\left(-e^{-x}\right)\right|_0^1-\left.e^{-x}\right|_0^1=3 p
  2. =−5e+4−1e+1=5−6e=-\dfrac5e+4-\dfrac1e+1=5-\dfrac6e2 p

III.2.c5 p

Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnf(x) dxI_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{f(x)}\,dx. Arătați că In+1+4In≤en+1I_{n+1}+4I_n\le\dfrac{e}{n+1}, pentru orice număr natural nenul nn.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. In=∫01xnexx+4 dxI_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^ne^x}{x+4}\,dx, de unde obținem In+1+4In=∫01(xn+1+4xn)exx+4 dx=∫01xnex dxI_{n+1}+4I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{\left(x^{n+1}+4x^n\right)e^x}{x+4}\,dx=\int_0^1x^ne^x\,dx, pentru orice număr natural nenul nn2 p
  2. Cum ex≤ee^x\le e, pentru orice x∈[0,1]x\in[0,1], obținem In+1+4In≤e∫01xn dx=e⋅xnn+1∣01=en+1I_{n+1}+4I_n\le e\displaystyle\int_0^1x^n\,dx=e\cdot\left.\frac{x^n}{n+1}\right|_0^1=\frac{e}{n+1}, pentru orice număr natural nenul nn3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M1.