Bacalaureat 2025 la matematică M1: varianta de rezervă

Subiectul oficial M1, varianta de rezervă 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 2(log⁡510−log⁡52)+log⁡525=42(\log_510-\log_52)+\log_525=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 2(log⁡510−log⁡52)+log⁡525=2log⁡55+log⁡552=2(\log_510-\log_52)+\log_525=2\log_55+\log_55^2=3 p
  2. =2⋅1+2=4=2\cdot1+2=42 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x−4f(x)=x-4. Determinați numărul real mm pentru care f(2+m)=2−mf(2+m)=2-m.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=2m=2

Criterii (după barem)

  1. f(2+m)=m−2f(2+m)=m-2, pentru orice număr real mm2 p
  2. m−2=2−mm-2=2-m, de unde obținem m=2m=23 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 8x⋅21−x=278^x\cdot2^{1-x}=2^7.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=3x=3

Criterii (după barem)

  1. 22x+1=272^{2x+1}=2^7, de unde obținem 2x+1=72x+1=73 p
  2. x=3x=32 p

I.45 p

Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5,6}A=\{1,2,3,4,5,6\}. Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea AA, sunt divizibile cu 55.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 2020

Criterii (după barem)

  1. Cifra unităților se poate alege într-un singur mod2 p
  2. Cifra sutelor se poate alege în 55 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege în câte 44 moduri, deci sunt 1⋅5⋅4=201\cdot5\cdot4=20 de numere3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,1)A(0,1), B(2,0)B(2,0) și C(4,6)C(4,6). Determinați ecuația dreptei dd ce trece prin punctul AA și este paralelă cu dreapta BCBC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=3x+1y=3x+1

Criterii (după barem)

  1. mBC=3m_{BC}=3, deci md=3m_d=33 p
  2. Ecuația dreptei dd este y−1=3(x−0)y-1=3(x-0), adică y=3x+1y=3x+12 p

I.65 p

Se consideră expresia E(x)=tg⁡x⋅(cos⁡3x4)2−cos⁡x2E(x)=\operatorname{tg}x\cdot\left(\cos\dfrac{3x}{4}\right)^2-\cos\dfrac x2, unde x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac\pi2\right). Arătați că E(π3)=0E\left(\dfrac\pi3\right)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. tg⁡π3=3\operatorname{tg}\dfrac\pi3=\sqrt3, cos⁡π4=22\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2}, cos⁡π6=32\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{2}3 p
  2. E(π3)=3⋅(22)2−32=3⋅12−32=0E\left(\dfrac\pi3\right)=\sqrt3\cdot\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2-\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\cdot\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}=02 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea A(a)=(a1−20a1241)A(a)=\begin{pmatrix}a&1&-2\\0&a&1\\2&4&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=4ay+z=12x+4y+z=4\begin{cases}ax+y-2z=4\\ay+z=1\\2x+4y+z=4\end{cases}, unde aa este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(1))=3\det\big(A(1)\big)=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(1)=(11−2011241)⇒det⁡(A(1))=∣11−2011241∣=A(1)=\begin{pmatrix}1&1&-2\\0&1&1\\2&4&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}1&1&-2\\0&1&1\\2&4&1\end{vmatrix}=2 p
  2. =1+0+2+4−4−0=3=1+0+2+4-4-0=33 p

II.1.b5 p

Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real aa.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. det⁡(A(a))=∣a1−20a1241∣=a2+2\det\big(A(a)\big)=\begin{vmatrix}a&1&-2\\0&a&1\\2&4&1\end{vmatrix}=a^2+2, pentru orice număr real aa3 p
  2. a2+2≠0a^2+2\ne0, pentru orice număr real aa, deci sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real aa2 p

II.1.c5 p

Determinați mulțimea numerelor reale aa pentru care soluția (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) a sistemului de ecuații verifică inegalitatea y0≥1y_0\ge1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈[−5,2]a\in[-5,2]

Criterii (după barem)

  1. y0=12−3aa2+2y_0=\dfrac{12-3a}{a^2+2}, pentru orice număr real aa3 p
  2. 12−3aa2+2≥1\dfrac{12-3a}{a^2+2}\ge1, de unde obținem a∈[−5,2]a\in[-5,2]2 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4−12(x−4)(y−4)x*y=4-\dfrac12(x-4)(y-4).

II.2.a5 p

Arătați că 6∗7=16*7=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 6∗7=4−12(6−4)(7−4)=6*7=4-\dfrac12(6-4)(7-4)=3 p
  2. =4−3=1=4-3=12 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real xx pentru care x∗(x+4)=6x*(x+4)=6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. x∗(x+4)=4−12(x−4)xx*(x+4)=4-\dfrac12(x-4)x, pentru orice număr real xx2 p
  2. 4−12(x−4)x=64-\dfrac12(x-4)x=6, de unde obținem x=2x=23 p

II.2.c5 p

Determinați tripletele (m,n,p)(m,n,p) de numere naturale, cu m<n<pm<n<p, pentru care m∗n∗p=3m*n*p=3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (2,5,6)(2,5,6) și (3,5,8)(3,5,8)

Criterii (după barem)

  1. m∗n∗p=4+14(m−4)(n−4)(p−4)m*n*p=4+\dfrac14(m-4)(n-4)(p-4), pentru orice numere naturale mm, nn și pp3 p
  2. 4+14(m−4)(n−4)(p−4)=3⇔(m−4)(n−4)(p−4)=−44+\dfrac14(m-4)(n-4)(p-4)=3\Leftrightarrow(m-4)(n-4)(p-4)=-4 și, cum mm, nn și pp sunt numere naturale cu m<n<pm<n<p, obținem tripletele (2,5,6)(2,5,6) și (3,5,8)(3,5,8)2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=(x−5)x2+2f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=2x2−5x+2x2+2f'(x)=\dfrac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}, x∈Rx\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=x2+2+(x−5)⋅2x2x2+2=f'(x)=\sqrt{x^2+2}+(x-5)\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=3 p
  2. =x2+2+x2−5xx2+2=2x2−5x+2x2+2=\dfrac{x^2+2+x^2-5x}{\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}, x∈Rx\in\mathbb R2 p

III.1.b5 p

Determinați intervalele de monotonie a funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: ff este crescătoare pe (−∞,12]\left(-\infty,\dfrac12\right], descrescătoare pe [12,2]\left[\dfrac12,2\right] și crescătoare pe [2,+∞)[2,+\infty)

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=12f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac12 sau x=2x=22 p
  2. Pentru orice x∈(−∞,12]x\in\left(-\infty,\dfrac12\right], f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe (−∞,12]\left(-\infty,\dfrac12\right], pentru orice x∈[12,2]x\in\left[\dfrac12,2\right], f′(x)≤0f'(x)\le0, deci ff este descrescătoare pe [12,2]\left[\dfrac12,2\right] și, pentru orice x∈[2,+∞)x\in[2,+\infty), f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2,+\infty)3 p

III.1.c5 p

Arătați că lim⁡x→+∞(x2−5xf(x))x=1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→+∞(x2−5xf(x))x=lim⁡x→+∞(1−2x2+2)x2=lim⁡x→+∞((1−2x2+2)−x2+22)−xx2+2=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{\frac x2}=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{-\frac{x^2+2}{2}}\right)^{-\frac{x}{x^2+2}}=3 p
  2. =elim⁡x→+∞(−xx2+2)=e0=1=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\frac{x}{x^2+2}\right)}=e^0=12 p

III.2

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=8x3+1+ln⁡2xf(x)=8x^3+1+\ln^2x.

III.2.a5 p

Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡2x)dx=31\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\ln^2x\right)dx=31.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫12(f(x)−ln⁡2x)dx=∫12(8x3+1)dx=(2x4+x)∣12=\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\ln^2x\right)dx=\int_1^2\left(8x^3+1\right)dx=\left.\left(2x^4+x\right)\right|_1^2=3 p
  2. =34−3=31=34-3=312 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1ef(x)−8x3−1x dx=13\displaystyle\int_1^e\frac{f(x)-8x^3-1}{x}\,dx=\frac13.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫1ef(x)−8x3−1x dx=∫1eln⁡2x⋅(ln⁡x)′ dx=ln⁡3x3∣1e=\displaystyle\int_1^e\frac{f(x)-8x^3-1}{x}\,dx=\int_1^e\ln^2x\cdot(\ln x)'\,dx=\left.\frac{\ln^3x}{3}\right|_1^e=3 p
  2. =ln⁡3e3−ln⁡313=13=\dfrac{\ln^3e}{3}-\dfrac{\ln^31}{3}=\dfrac132 p

III.2.c5 p

Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫1e2x(ln⁡x)nf(x)−8x3 dxI_n=\displaystyle\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{f(x)-8x^3}\,dx. Demonstrați că In+2+In≤2n−1(e4−1)I_{n+2}+I_n\le2^{n-1}\left(e^4-1\right), pentru orice număr natural nenul nn.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. In=∫1e2x(ln⁡x)n1+ln⁡2x dxI_n=\displaystyle\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{1+\ln^2x}\,dx, In+2+In=∫1e2x(ln⁡x)n+2+x(ln⁡x)n1+ln⁡2x dx=∫1e2x(ln⁡x)n dxI_{n+2}+I_n=\displaystyle\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^{n+2}+x(\ln x)^n}{1+\ln^2x}\,dx=\int_1^{e^2}x(\ln x)^n\,dx, pentru orice număr natural nenul nn3 p
  2. Pentru orice x∈[1,e2]x\in\left[1,e^2\right], ln⁡x≤2\ln x\le2, de unde obținem In+2+In≤2n∫1e2x dx=2n−1(e4−1)I_{n+2}+I_n\le2^n\displaystyle\int_1^{e^2}x\,dx=2^{n-1}\left(e^4-1\right)2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M1.