Bacalaureat 2026 la mate M1: iunie

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Se consideră z=3−i z=3-i . Arătați că z(z+2i)=10 z(z+2i)=10.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dezvoltarea produsului conjugatelor (3−i)(3+i)=9−i2(3-i)(3+i)=9-i^2.2 p
  2. Folosirea lui i2=−1 i^2=-1 și obținerea valorii 10.3 p

I.25 p

Pentru f(x)=3x−4 f(x)=3x-4, determinați a∈R a\in\mathbb R astfel încât f(a)+f(−2a)=a f(a)+f(-2a)=a .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−2 a=-2

Barem oficial

  1. Calcularea lui f(a)=3a−4 f(a)=3a-4 și f(−2a)=−6a−4 f(-2a)=-6a-4.3 p
  2. Rezolvarea ecuației și obținerea lui a=−2 a=-2.2 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația x2+7=2x+1\sqrt{x^2+7}=2\sqrt{x+1}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{1,3} x\in\{1,3\}

Barem oficial

  1. Obținerea ecuației x2−4x+3=0 x^2-4x+3=0.2 p
  2. Obținerea soluțiilor 1 și 3 și verificarea admisibilității.3 p

I.45 p

Pentru A={1,2,3,5,7} A=\{1,2,3,5,7\}, câte submulțimi au exact trei elemente și conțin numărul 55?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 66

Barem oficial

  1. Reducerea la submulțimile cu două elemente ale lui A{5} A\{5\}.3 p
  2. Numărarea celor 6 submulțimi.2 p

I.55 p

În reperul xOy xOy , A(3,6) A(3,6), B(4,1) B(4,1), C(5,a) C(5,a). Determinați a a pentru care OA∥BC OA\parallel BC .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=3 a=3

Barem oficial

  1. Calcularea pantei mOA=2 m_{OA}=2.2 p
  2. Folosirea lui mBC=a−1 m_{BC}=a-1 și obținerea lui a=3 a=3.3 p

I.65 p

Fie E(x)=(1+tg⁡2x)sin⁡x2+cos⁡3x E(x)=(1+\operatorname{tg}^2x)\sin\frac x2+\cos3x , x∈(0,π2) x\in(0,\frac\pi2). Arătați că E(π3)=1 E(\frac\pi3)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Valorile tg⁡(π/3)=3\operatorname{tg}(\pi/3)=\sqrt3, sin⁡(π/6)=1/2\sin(\pi/6)=1/2, cos⁡π=−1\cos\pi=-1.3 p
  2. Calcularea expresiei și rezultatul 1.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea A(a)=(1aaa3a021) A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&3&a\\0&2&1\end{pmatrix} și sistemul {x+ay+az=1ax+3y+az=02y+z=0\begin{cases}x+ay+az=1\\ax+3y+az=0\\2y+z=0\end{cases}, unde a∈R a\in\mathbb R .

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(1)=2\det A(1)=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea matricei A(1) A(1) și a determinantului său.2 p
  2. Calcularea determinantului egal cu 2.3 p

II.1.b5 p

Arătați că sistemul are soluție unică pentru orice a∈R a\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea determinantului a2−2a+3 a^2-2a+3.3 p
  2. Scrierea (a−1)2+2>0(a-1)^2+2>0 și concluzia de unicitate.2 p

II.1.c5 p

Determinați a∈N∗ a\in\mathbb N^* pentru care soluția sistemului satisface z0=nx0 z_0=nx_0, cu n∈N n\in\mathbb N .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=1 a=1 și n=2 n=2

Barem oficial

  1. Obținerea relației 2a=n(3−2a)2a=n(3-2a).3 p
  2. Folosirea restricțiilor naturale și obținerea lui a=1 a=1.2 p

II.2

Pe R\mathbb R se definește legea de compoziție asociativă x∗y=23(x−3)(y−3)+3 x*y=\frac23(x-3)(y-3)+3.

II.2.a5 p

Arătați că 0∗2=50*2=5.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea în legea de compoziție.3 p
  2. Calcularea rezultatului 5.2 p

II.2.b5 p

Determinați x∈R x\in\mathbb R pentru care x∗3x2=5x x*\frac{3x}{2}=5x .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{1,9} x\in\{1,9\}

Barem oficial

  1. Obținerea expresiei x2−5x+9 x^2-5x+9.2 p
  2. Rezolvarea ecuației și soluțiile 1 și 9.3 p

II.2.c5 p

Determinați perechile (m,n)∈N2(m,n)\in\mathbb N^2 pentru care m∗m∗n=−1 m*m*n=-1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (m,n)∈{(0,2),(6,2)}(m,n)\in\{(0,2),(6,2)\}

Barem oficial

  1. Calcularea lui m∗m m*m și a lui m∗m∗n m*m*n .2 p
  2. Reducerea la (m−3)2(n−3)=−9(m-3)^2(n-3)=-9 și perechile (0,2),(6,2)(0,2),(6,2).3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=x3−4xx2+5 f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2+5}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(x2−1)(x2+20)(x2+5)2 f\prime(x)=\frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2}, pentru orice x∈R x\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Aplicarea regulii derivatei câtului.3 p
  2. Simplificarea și factorizarea la formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Arătați că dreapta y=x y=x este asimptotă oblică spre +∞+\infty .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea limitei diferenței f(x)−x f(x)-x .2 p
  2. Calcularea limitei 0 și identificarea asimptotei y=x y=x .3 p

III.1.c5 p

Determinați m∈R m\in\mathbb R pentru care ecuația f(x)=m f(x)=m are exact trei soluții.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m∈(−12,12) m\in(-\frac12,\frac12)

Barem oficial

  1. Derivata, punctele critice și cele trei intervale de monotonie.2 p
  2. Valorile extreme, limitele, continuitatea și intervalul deschis al lui m m .3 p

III.2

Se consideră funcția f:(1,+∞)→R f:(1,+\infty)\to\mathbb R , f(x)=x2−4xln⁡x f(x)=\frac{x^2-4}{x\ln x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫23f(x)xln⁡x dx=73\int_2^3 f(x)x\ln x\,dx=\frac73.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea integrandului și o primitivă corectă.3 p
  2. Calculul la capete, rezultat 7/37/3.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫ee2f(x)x2−4 dx=ln⁡2\int_e^{e^2}\frac{f(x)}{x^2-4}\,dx=\ln2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea la 1/(xln⁡x)1/(x\ln x) și primitiva ln⁡(ln⁡x)\ln(\ln x).3 p
  2. Calculul la capete, rezultat ln⁡2\ln2.2 p

III.2.c5 p

Fie F F primitiva lui f f cu F(2)=0 F(2)=0. Arătați că lim⁡x→2∫2x(t−2)F(t) dtF2(x)=ln⁡24\lim_{x\to2}\frac{\int_2^x(t-2)F(t)\,dt}{F^2(x)}=\frac{\ln2}4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Aplicarea regulii lui l'Hôpital și derivarea integralei.3 p
  2. Simplificarea raportului și limita ln⁡2/4\ln2/4.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.