Bacalaureat 2026 la mate M1: model

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x$ , $8$ și $2x+1$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=5$

Barem oficial

Scrierea condiției $(x+2x+1)/2=8$ .3 p
Obținerea lui $x=5$ .2 p

I.25 p

Se consideră $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=2x+1$ , $g(x)=x+4$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ g)(a)=-a$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=-3$

Barem oficial

Calcularea $g(a)=a+4$ , $(f\circ g)(a)=2a+9$ .3 p
Rezolvarea ecuației și $a=-3$ .2 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\log_5x=\log_5(4x+5)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=5$

Barem oficial

Transformarea în $x^2-4x-5=0$ .2 p
Rădăcinile $-1,5$ și păstrarea numai a lui $5$ .3 p

I.45 p

Se consideră $A=\{1,3,5,7,8\}$ . Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, se pot forma cu cifre din $A$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 16

Barem oficial

Alegerea cifrei zecilor în 4 moduri.2 p
Alegerea unităților în 4 moduri și totalul 16.3 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră $A(0,5)$ și $B(3,4)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $C(1,3)$

Barem oficial

Calcularea vectorului sumă $3\vec i+9\vec j$ .3 p
Împărțirea la 3 și $C(1,3)$ .2 p

I.65 p

Se consideră triunghiul $ABC$ , cu $\widehat A=\pi/2$ , $\widehat C=\pi/3$ și $AE=2$ , unde $E$ este punctul în care bisectoarea unghiului $C$ intersectează latura $AB$ . Arătați că distanța de la $B$ la dreapta $CE$ este $2\sqrt3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Unghiurile egale din $BCE$ și egalitatea distanțelor $d(B,CE)=CA$ .3 p
Din $\tan\widehat{ACE}=AE/AC$ se obține $2\sqrt3$ .2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}a&0&-2\\1&1&1-a\\2&1&-2\end{pmatrix}$ și sistemul $\begin{cases}ax-2z=4\\x+y+(1-a)z=3\\2x+y-2z=5\end{cases}$ , unde $a\in\mathbb R$ .

II.1.a5 p

Arătați că $\det A(0)=2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea lui $a=0$ în determinant.2 p
Calculul determinantului egal cu 2.3 p

II.1.b5 p

Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care $A(a)$ este inversabilă.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a\in\mathbb R\setminus\{1,2\}$

Barem oficial

Calculul $\det A(a)=a^2-3a+2$ .2 p
Zerourile 1,2 și mulțimea $\mathbb R\setminus\{1,2\}$ .3 p

II.1.c5 p

Pentru $a=2$ , arătați că $x_0z_0+y_0\ge0$ , pentru orice soluție reală $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Parametrizarea tuturor soluțiilor $(\alpha,1,\alpha-2)$ .3 p
Expresia $(\alpha-1)^2\ge0$ .2 p

II.2

Pe mulțimea $M=(1,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x*y=\dfrac{xy-1}{(x-1)(y-1)}$ .

II.2.a5 p

Arătați că $3*5=7/4$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea lui 3 și 5 în formula legii.3 p
Simplificarea la $7/4$ .2 p

II.2.b5 p

Determinați $x\in M$ pentru care $x*x=3$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=2$

Barem oficial

Simplificarea la $(x+1)/(x-1)$ .3 p
Rezolvarea și verificarea lui x=2.2 p

II.2.c5 p

Demonstrați că $(x*2)*x>2$ , pentru orice $x\in M$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul celor două compuneri până la $(2x^2-2x+1)/(x(x-1))$ .3 p
Scrierea $2+1/(x(x-1))$ și pozitivitatea termenului suplimentar.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=x+(\ln x)^2-x\ln x$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f\prime(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x}$ , pentru $x>0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Derivarea termenilor.3 p
Factorizarea în forma cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați abscisele punctelor graficului în care tangenta este paralelă cu axa $Ox$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=1$ sau $x=2$

Barem oficial

Condiția de pantă nulă.2 p
Rezolvarea și cele două abscise 1 și 2.3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are soluție unică.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Studiul monotoniei pe cele trei intervale.2 p
f(1)=1, limita la infinit și continuitatea pentru existență și unicitate.3 p

III.2

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\int_0^3(f(x)-\sqrt{x^2+4})\,dx=3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Reducerea și calculul primitivei.3 p
Evaluarea egală cu 3.2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\int_0^{\sqrt5}\dfrac{x}{f(x)-x^2+2}\,dx=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea și primitiva radical.3 p
Evaluarea 3-2=1.2 p

III.2.c5 p

Demonstrați că $\lim_{x\to0}\dfrac1{x^2}\int_0^xF(t)\,dt=0$ , unde $F$ este primitiva lui $f$ pentru care $F(0)=0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Două aplicări justificate ale regulii lui l'Hospital.3 p
Limita f(x)/2=f(0)/2=0.2 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.