Bacalaureat 2026 la matematică M1: varianta de rezervă

Subiectul oficial M1, varianta de rezervă 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 3i(2+i)+2(2−3i)=13i(2+i)+2(2-3i)=1, unde i2=−1i^2=-1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 3i(2+i)+2(2−3i)=6i+3i2+4−6i=3i(2+i)+2(2-3i)=6i+3i^2+4-6i=3 p
  2. =−3+4=1=-3+4=12 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=2x−5f(x)=2x-5. Determinați numărul real aa pentru care a+f(a−1)+f(a+1)=0a+f(a-1)+f(a+1)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. f(a−1)=2a−7f(a-1)=2a-7, f(a+1)=2a−3f(a+1)=2a-3, pentru orice număr real aa2 p
  2. a+2a−7+2a−3=0a+2a-7+2a-3=0, de unde obținem a=2a=23 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12log⁡2(6x−8)=log⁡2x\dfrac12\log_2(6x-8)=\log_2x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2 sau x=4x=4

Criterii (după barem)

  1. log⁡2(6x−8)=log⁡2x2\log_2(6x-8)=\log_2x^2, de unde obținem x2−6x+8=0x^2-6x+8=02 p
  2. x=2x=2 sau x=4x=4, care convin3 p

I.45 p

Se consideră mulțimea A={3,6,9,…,60}A=\{3,6,9,\dots,60\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea AA, acesta să fie divizibil cu 55.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=15p=\dfrac15

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea AA are 2020 de elemente, deci sunt 2020 de cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea AA sunt 44 numere divizibile cu 55, deci sunt 44 cazuri favorabile, de unde obținem p=420=15p=\dfrac{4}{20}=\dfrac153 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,2)A(2,2), B(a,0)B(a,0) și C(1,b)C(1,b), unde aa și bb sunt numere reale. Determinați numerele reale aa și bb pentru care OB→+OC→=2OA→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=3a=3 și b=4b=4

Criterii (după barem)

  1. OA→=12(OB→+OC→)\overrightarrow{OA}=\dfrac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right), deci punctul AA este mijlocul segmentului BCBC2 p
  2. a+12=2\dfrac{a+1}{2}=2, 0+b2=2\dfrac{0+b}{2}=2, de unde obținem a=3a=3 și b=4b=43 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=6AC=6 și B=π3B=\dfrac\pi3. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 636\sqrt3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. tg⁡B=ACAB\operatorname{tg}B=\dfrac{AC}{AB}, deci 3=6AB\sqrt3=\dfrac{6}{AB}, de unde obținem AB=23AB=2\sqrt33 p
  2. AΔABC=AB⋅AC2=23⋅62=63\mathcal A_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{2\sqrt3\cdot6}{2}=6\sqrt32 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele I3=(100010001)I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(2a−1210−1−a022a)A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}, unde aa este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(3))=0\det\big(A(3)\big)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(3)=(5210−1−3026)⇒det⁡(A(3))=∣5210−1−3026∣=A(3)=\begin{pmatrix}5&2&1\\0&-1&-3\\0&2&6\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(3)\big)=\begin{vmatrix}5&2&1\\0&-1&-3\\0&2&6\end{vmatrix}=2 p
  2. =−30+0+0−0+30−0=0=-30+0+0-0+30-0=03 p

II.1.b5 p

Arătați că A(a)⋅A(a)=(2a−1)A(a)A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a), pentru orice număr real aa.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(a)⋅A(a)=((2a−1)24a−22a−101−2aa−2a20−2+4a−2a+4a2)=A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}(2a-1)^2&4a-2&2a-1\\0&1-2a&a-2a^2\\0&-2+4a&-2a+4a^2\end{pmatrix}=3 p
  2. =((2a−1)22(2a−1)2a−10−(2a−1)−a(2a−1)02(2a−1)2a(2a−1))=(2a−1)A(a)=\begin{pmatrix}(2a-1)^2&2(2a-1)&2a-1\\0&-(2a-1)&-a(2a-1)\\0&2(2a-1)&2a(2a-1)\end{pmatrix}=(2a-1)A(a), pentru orice număr real aa2 p

II.1.c5 p

Se consideră matricea B(n)=A(n)+nI3B(n)=A(n)+nI_3, unde nn este număr natural. Determinați numărul natural nn pentru care A(n)⋅B(n)=2n2A(n)A(n)\cdot B(n)=2n^2A(n).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n=1n=1

Criterii (după barem)

  1. A(n)⋅B(n)=(3n−1)A(n)A(n)\cdot B(n)=(3n-1)A(n), pentru orice număr natural nn3 p
  2. (3n−1)A(n)=2n2A(n)(3n-1)A(n)=2n^2A(n) și, cum nn este număr natural, obținem n=1n=12 p

II.2

Se consideră polinomul f=X4−X3+aX2+bX−6f=X^4-X^3+aX^2+bX-6, unde aa și bb sunt numere reale.

II.2.a5 p

Pentru a=4a=4 și b=0b=0, arătați că f(−1)=0f(-1)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f=X4−X3+4X2−6⇒f(−1)=(−1)4−(−1)3+4(−1)2−6=f=X^4-X^3+4X^2-6\Rightarrow f(-1)=(-1)^4-(-1)^3+4(-1)^2-6=3 p
  2. =1+1+4−6=0=1+1+4-6=02 p

II.2.b5 p

Pentru a=b=1a=b=1, determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul g=X2−X+1g=X^2-X+1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: Câtul este X2X^2, restul este X−6X-6

Criterii (după barem)

  1. f=X4−X3+X2+X−6=(X2−X+1)X2+X−6f=X^4-X^3+X^2+X-6=\left(X^2-X+1\right)X^2+X-6, deci câtul împărțirii este X2X^23 p
  2. Restul este X−6X-62 p

II.2.c5 p

Determinați perechile (a,b)(a,b) de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului ff sunt numere opuse.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (1,2)(1,2) și (5,1)(5,1)

Criterii (după barem)

  1. x2=−x1x_2=-x_1, deci f(x1)=f(−x1)=0f(x_1)=f(-x_1)=0, de unde rezultă f(x1)+f(−x1)=0f(x_1)+f(-x_1)=0 și f(x1)−f(−x1)=0f(x_1)-f(-x_1)=0, de unde obținem x14+ax12−6=0x_1^4+ax_1^2-6=0 și x13−bx1=0x_1^3-bx_1=02 p
  2. Cum x1≠0x_1\ne0, obținem b=x12b=x_1^2, deci b(a+b)=6b(a+b)=6 și, cum aa și bb sunt numere naturale, rezultă că perechile sunt (1,2)(1,2) și (5,1)(5,1), care convin3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=22x2+1−3ln⁡(2x2+1)f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln\left(2x^2+1\right).

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=4x(2x2+1−3)2x2+1f'(x)=\dfrac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}, x∈Rx\in\mathbb R.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=4x2x2+1−3⋅4x2x2+1=f'(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}-3\cdot\dfrac{4x}{2x^2+1}=3 p
  2. =4x2x2+1−12x2x2+1=4x(2x2+1−3)2x2+1=\dfrac{4x\sqrt{2x^2+1}-12x}{2x^2+1}=\dfrac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}, x∈Rx\in\mathbb R2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x=0, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=2y=2

Criterii (după barem)

  1. f(0)=2f(0)=2, f′(0)=0f'(0)=02 p
  2. Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y-f(0)=f'(0)(x-0), adică y=2y=23 p

III.1.c5 p

Demonstrați că ecuația f(x)=mf(x)=m are exact două soluții, pentru orice m∈(2,+∞)m\in(2,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=−2f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2 sau x=0x=0 sau x=2x=2; pentru orice x∈(−∞,−2)x\in(-\infty,-2), f′(x)<0f'(x)<0, deci ff este strict descrescătoare pe (−∞,−2)(-\infty,-2); pentru orice x∈[−2,0]x\in[-2,0], f′(x)≥0f'(x)\ge0, deci ff este crescătoare pe [−2,0][-2,0]; pentru orice x∈[0,2]x\in[0,2], f′(x)≤0f'(x)\le0, deci ff descrescătoare pe [0,2][0,2]; pentru orice x∈(2,+∞)x\in(2,+\infty), f′(x)>0f'(x)>0, deci ff este strict crescătoare pe (2,+∞)(2,+\infty)2 p
  2. Cum lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, f(0)=2f(0)=2 și ff este continuă, obținem că ecuația f(x)=mf(x)=m are exact două soluții pentru orice m∈(2,+∞)m\in(2,+\infty)3 p

III.2

Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf:(-2,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=4x3+1x+2f(x)=4x^3+\dfrac1{x+2}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫12(f(x)−1x+2)dx=15\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\frac1{x+2}\right)dx=15.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫12(f(x)−1x+2)dx=∫124x3 dx=x4∣12=\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\frac1{x+2}\right)dx=\int_1^2 4x^3\,dx=\left.x^4\right|_1^2=3 p
  2. =16−1=15=16-1=152 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1e4ln⁡xf(x)−4x3 dx=e2+9\displaystyle\int_1^e\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}\,dx=e^2+9.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫1e4ln⁡xf(x)−4x3 dx=∫1e(4x+8)ln⁡x dx=∫1e(2x2+8x)′ln⁡x dx=(2x2+8x)ln⁡x∣1e−(x2+8x)∣1e=\displaystyle\int_1^e\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}\,dx=\int_1^e(4x+8)\ln x\,dx=\int_1^e\left(2x^2+8x\right)'\ln x\,dx=\left.\left(2x^2+8x\right)\ln x\right|_1^e-\left.\left(x^2+8x\right)\right|_1^e=3 p
  2. =2e2+8e−e2−8e+9=e2+9=2e^2+8e-e^2-8e+9=e^2+92 p

III.2.c5 p

Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(−2,+∞)→Rg:(-2,+\infty)\to\mathbb R, g(x)=f(ex)−4e3xg(x)=f\left(e^x\right)-4e^{3x}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=1x=1 este egală cu 12ln⁡3ee+2\dfrac12\ln\dfrac{3e}{e+2}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. g(x)=1ex+2g(x)=\dfrac1{e^x+2}, x∈(−2,+∞)⇒A=∫01∣g(x)∣ dx=12∫01(1−exex+2)dx=12(x∣01−ln⁡(ex+2)∣01)=x\in(-2,+\infty)\Rightarrow\mathcal A=\displaystyle\int_0^1|g(x)|\,dx=\frac12\int_0^1\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right)dx=\frac12\left(\left.x\right|_0^1-\left.\ln\left(e^x+2\right)\right|_0^1\right)=3 p
  2. =12(1−ln⁡e+23)=12ln⁡3ee+2=\dfrac12\left(1-\ln\dfrac{e+2}{3}\right)=\dfrac12\ln\dfrac{3e}{e+2}2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M1.