Bacalaureat 2024 la mate M1: simulare

Subiectul oficial M1, mate-info, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că (3+lg⁡110)lg⁡10=1\left(3+\lg\frac1{10}\right)\lg\sqrt{10}=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Logaritmii și reducerea primului factor la 2.3 p
  2. Calculul expresiei, rezultat 1.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=x2+ax−1 f(x)=x^2+ax-1, determinați a∈R a\in\mathbb R astfel încât (f∘f)(1)=1(f\circ f)(1)=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{−1,1} a\in\{-1,1\}

Barem oficial

  1. Calcularea lui f(1)=a și f(f(1))=2 a²-1.2 p
  2. Ecuația și cele două valori a=-1, a=1.3 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația 2x+1⋅8x=322^{x+1}\cdot8^x=32.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1 x=1

Barem oficial

  1. Scrierea în baza 2 și egalarea exponenților.3 p
  2. Rezultatul x=1.2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr natural n n de două cifre, n+100\sqrt{n+100} să fie natural.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 245\frac2{45}

Barem oficial

  1. Cele 90 de numere de două cifre.2 p
  2. Cele patru cazuri favorabile și probabilitatea 2/45.3 p

I.55 p

Fie A(1,4) A(1,4), B(4,6) B(4,6), C(4,2) C(4,2). Determinați D D astfel încât OD→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{OD}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: D(3,0) D(3,0)

Barem oficial

  1. Vectorii AB, AC și semisuma lor.3 p
  2. Coordonatele D(3, 0).2 p

I.65 p

Pentru E(x)=tan⁡x−4cos⁡(x/2)cos⁡x E(x)=\tan x-4\cos(x/2)\cos x , x∈(0,π/2) x\in(0,\pi/2), arătați că E(π/3)=0 E(\pi/3)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Cele trei valori trigonometrice.3 p
  2. Înlocuirea și rezultatul 0.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie I3 I_3 matricea unitate și A(x)=(1−1x−100x0−1) A(x)=\begin{pmatrix}1&-1&x\\-1&0&0\\x&0&-1\end{pmatrix}, x∈R x\in\mathbb R .

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(0)=1\det A(0)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Matricea A(0) și formula determinantului.2 p
  2. Calculul determinantului 1.3 p

II.1.b5 p

Arătați că det⁡(A(x)A(x)−I3)≤0\det(A(x)A(x)-I_3)\le0 pentru orice x∈R x\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea lui A(x)² și A(x)²-I₃.3 p
  2. Determinantul -x²(x²+2) și semnul său.2 p

II.1.c5 p

Pentru B=(101010) B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}, determinați X∈M2,3(R) X\in M_{2,3}(\mathbb R) astfel încât XA(0)−1=BA(0) XA(0)^{-1}=BA(0).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(2−11−110) X=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}

Barem oficial

  1. Izolarea matricei X=BA(0)A(0).2 p
  2. Calcularea matricei X.3 p

II.2

Pe M=[0,+∞) M=[0,+\infty) se definește x∗y=x2+y2+x+yx+y+1 x*y=\frac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗2=21*2=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea lui 1 și 2 în formula legii.3 p
  2. Calculul rezultatului 2.2 p

II.2.b5 p

Arătați că e=0 e=0 este elementul neutru al legii ∗*.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Verificarea identității x*0=x pentru orice x din M.2 p
  2. Verificarea identității 0*x=x și concluzia.3 p

II.2.c5 p

Determinați perechile (m,n)∈N2(m,n)\in\mathbb N^2 pentru care m∗n=5 m*n=5.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: {(0,5),(4,5),(5,0),(5,4)}\{(0,5),(4,5),(5,0),(5,4)\}

Barem oficial

  1. Ecuația echivalentă (m -2)²+(n -2)²=13.3 p
  2. Cele patru perechi naturale.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=(x+6)x2+4 f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=2(x2+3x+2)x2+4 f\prime(x)=\frac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}} pentru x∈R x\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Aplicarea regulii produsului și derivarea radicalului.3 p
  2. Simplificarea la formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați intervalele de monotonie ale lui f f .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: Crescătoare pe (−∞,−2](-\infty,-2] și [−1,+∞)[-1,+\infty); descrescătoare pe [−2,−1][-2,-1].

Barem oficial

  1. Rădăcinile -2 și -1 ale derivatei.2 p
  2. Semnul derivatei și cele trei intervale de monotonie.3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că f(x)=m f(x)=m are o soluție unică pentru orice m∈Z m\in\mathbb Z .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Limitele, extremele și încadrarea lor strictă între 11 și 12.3 p
  2. Monotonia și existența unei singure soluții pentru orice întreg.2 p

III.2

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=x+1ex f(x)=\frac{x+1}{e^x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫04exf(x) dx=12\int_0^4 e^xf(x)\,dx=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea integrandului și primitiva.3 p
  2. Calculul la capete, rezultat 12.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫01f(x) dx=2e−3e\int_0^1f(x)\,dx=\frac{2e-3}{e}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Integrarea prin părți sau primitiva echivalentă.3 p
  2. Calculul (2 e -3)/e.2 p

III.2.c5 p

Pentru In=∫01xn−1f(xn) dx I_n=\int_0^1\frac{x^{n-1}}{f(x^n)}\,dx , n∈N n\in\mathbb N , n≥2 n\ge2, demonstrați ln⁡2n≤In≤e−1n\frac{\ln2}{n}\le I_n\le\frac{e-1}{n}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Substituția u=xⁿ și forma integralei cu factorul 1/n.3 p
  2. Cele două estimări prin integrarea inegalităților.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M1.