Acasă Bacalaureat Matematică M1 Pe teme Derivate, monotonie, extreme și tangente Derivate, monotonie, extreme și tangente: Matematică M1 la Bacalaureat
62 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x + ( ln x ) 2 − x ln x f(x)=x+(\ln x)^2-x\ln x f ( x ) = x + ( ln x ) 2 − x ln x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = ( 2 − x ) ln x x f\prime(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x} f ′ ( x ) = x ( 2 − x ) ln x x > 0 x>0 x > 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea termenilor. 3 p Factorizarea în forma cerută. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați abscisele punctelor graficului în care tangenta este paralelă cu axa O x Ox O x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1 x = 2 x=2 x = 2
Criterii (după barem) Condiția de pantă nulă. 2 p Rezolvarea și cele două abscise 1 și 2. 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că ecuația f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Studiul monotoniei pe cele trei intervale. 2 p f(1)=1, limita la infinit și continuitatea pentru existență și unicitate. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1,+\infty)\to\mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = e x − 2 x − 1 f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}} f ( x ) = x − 1 e x − 2
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = e x − 2 ( 2 x − 3 ) 2 ( x − 1 ) x − 1 f\prime(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}} f ′ ( x ) = 2 ( x − 1 ) x − 1 e x − 2 ( 2 x − 3 ) x > 1 x>1 x > 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea raportului sau produsului. 3 p Simplificarea în forma cerută. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f ( x ) = m x f(x)=mx f ( x ) = m x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m ∈ ( 1 / 2 , + ∞ ) m\in(1/2,+\infty) m ∈ ( 1/2 , + ∞ )
Criterii (după barem) Funcția g, derivata și monotonia celor două ramuri. 3 p Limitele, minimul 1/2 și intervalul deschis al lui m. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( − 1 , + ∞ ) → R f:(-1,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = e x + 2 x + 1 x + 1 f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1} f ( x ) = x + 1 e x + 2 x + 1
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = x e x + 1 ( x + 1 ) 2 f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2} f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 x e x + 1 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = ( e x + 2 ) ( x + 1 ) − ( e x + 2 x + 1 ) ⋅ 1 ( x + 1 ) 2 = f'(x)=\dfrac{\left(e^x+2\right)(x+1)-\left(e^x+2x+1\right)\cdot1}{(x+1)^2}= f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( e x + 2 ) ( x + 1 ) − ( e x + 2 x + 1 ) ⋅ 1 = 3 p = x e x + e x + 2 x + 2 − e x − 2 x − 1 ( x + 1 ) 2 = x e x + 1 ( x + 1 ) 2 =\dfrac{xe^x+e^x+2x+2-e^x-2x-1}{(x+1)^2}=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2} = ( x + 1 ) 2 x e x + e x + 2 x + 2 − e x − 2 x − 1 = ( x + 1 ) 2 x e x + 1 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ ) 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 0 x=0 x = 0 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = x + 2 y=x+2 y = x + 2
Criterii (după barem) f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 f ′ ( 0 ) = 1 f'(0)=1 f ′ ( 0 ) = 1 2 p Ecuația tangentei este y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y-f(0)=f'(0)(x-0) y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = x + 2 y=x+2 y = x + 2 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că funcția f f f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Considerând g : [ − 1 , + ∞ ) → R g:[-1,+\infty)\to\mathbb R g : [ − 1 , + ∞ ) → R g ( x ) = x e x + 1 g(x)=xe^x+1 g ( x ) = x e x + 1 g ′ ( x ) = ( x + 1 ) e x ≥ 0 g'(x)=(x+1)e^x\ge0 g ′ ( x ) = ( x + 1 ) e x ≥ 0 x ∈ [ − 1 , + ∞ ) x\in[-1,+\infty) x ∈ [ − 1 , + ∞ ) g g g g ( − 1 ) = 1 − 1 e > 0 g(-1)=1-\dfrac1e>0 g ( − 1 ) = 1 − e 1 > 0 g ( x ) > 0 g(x)>0 g ( x ) > 0 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ ) 3 p Cum ( x + 1 ) 2 > 0 (x+1)^2>0 ( x + 1 ) 2 > 0 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ ) f ′ ( x ) > 0 f'(x)>0 f ′ ( x ) > 0 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ ) f f f 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x 3 − 4 x x 2 + 5 f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2+5} f ( x ) = x 2 + 5 x 3 − 4 x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 20 ) ( x 2 + 5 ) 2 f\prime(x)=\frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 5 ) 2 ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 20 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Aplicarea regulii derivatei câtului. 3 p Simplificarea și factorizarea la formula cerută. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați m ∈ R m\in\mathbb R m ∈ R f ( x ) = m f(x)=m f ( x ) = m
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m ∈ ( − 1 2 , 1 2 ) m\in(-\frac12,\frac12) m ∈ ( − 2 1 , 2 1 )
Criterii (după barem) Derivata, punctele critice și cele trei intervale de monotonie. 2 p Valorile extreme, limitele, continuitatea și intervalul deschis al lui m m m 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 2 2 x 2 + 1 − 3 ln ( 2 x 2 + 1 ) f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln\left(2x^2+1\right) f ( x ) = 2 2 x 2 + 1 − 3 ln ( 2 x 2 + 1 )
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 4 x ( 2 x 2 + 1 − 3 ) 2 x 2 + 1 f'(x)=\dfrac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1} f ′ ( x ) = 2 x 2 + 1 4 x ( 2 x 2 + 1 − 3 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 4 x 2 x 2 + 1 − 3 ⋅ 4 x 2 x 2 + 1 = f'(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}-3\cdot\dfrac{4x}{2x^2+1}= f ′ ( x ) = 2 x 2 + 1 4 x − 3 ⋅ 2 x 2 + 1 4 x = 3 p = 4 x 2 x 2 + 1 − 12 x 2 x 2 + 1 = 4 x ( 2 x 2 + 1 − 3 ) 2 x 2 + 1 =\dfrac{4x\sqrt{2x^2+1}-12x}{2x^2+1}=\dfrac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1} = 2 x 2 + 1 4 x 2 x 2 + 1 − 12 x = 2 x 2 + 1 4 x ( 2 x 2 + 1 − 3 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 0 x=0 x = 0 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 2 y=2 y = 2
Criterii (după barem) f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 2 p Ecuația tangentei este y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y-f(0)=f'(0)(x-0) y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = 2 y=2 y = 2 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că ecuația f ( x ) = m f(x)=m f ( x ) = m m ∈ ( 2 , + ∞ ) m\in(2,+\infty) m ∈ ( 2 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 2 f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 2 x = 0 x=0 x = 0 x = 2 x=2 x = 2 x ∈ ( − ∞ , − 2 ) x\in(-\infty,-2) x ∈ ( − ∞ , − 2 ) f ′ ( x ) < 0 f'(x)<0 f ′ ( x ) < 0 f f f ( − ∞ , − 2 ) (-\infty,-2) ( − ∞ , − 2 ) x ∈ [ − 2 , 0 ] x\in[-2,0] x ∈ [ − 2 , 0 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ − 2 , 0 ] [-2,0] [ − 2 , 0 ] x ∈ [ 0 , 2 ] x\in[0,2] x ∈ [ 0 , 2 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ 0 , 2 ] [0,2] [ 0 , 2 ] x ∈ ( 2 , + ∞ ) x\in(2,+\infty) x ∈ ( 2 , + ∞ ) f ′ ( x ) > 0 f'(x)>0 f ′ ( x ) > 0 f f f ( 2 , + ∞ ) (2,+\infty) ( 2 , + ∞ ) 2 p Cum lim x → − ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty x → − ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞ f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 f f f f ( x ) = m f(x)=m f ( x ) = m m ∈ ( 2 , + ∞ ) m\in(2,+\infty) m ∈ ( 2 , + ∞ ) 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 2 x 2 − 4 x − 3 − ( 2 x − 3 ) e 2 x f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x} f ( x ) = 2 x 2 − 4 x − 3 − ( 2 x − 3 ) e 2 x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 4 ( x − 1 ) ( 1 − e 2 x ) f'(x)=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right) f ′ ( x ) = 4 ( x − 1 ) ( 1 − e 2 x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 4 x − 4 − 2 e 2 x − ( 2 x − 3 ) ⋅ 2 e 2 x = f'(x)=4x-4-2e^{2x}-(2x-3)\cdot2e^{2x}= f ′ ( x ) = 4 x − 4 − 2 e 2 x − ( 2 x − 3 ) ⋅ 2 e 2 x = 3 p = 4 ( x − 1 ) − 4 ( x − 1 ) e 2 x = 4 ( x − 1 ) ( 1 − e 2 x ) =4(x-1)-4(x-1)e^{2x}=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right) = 4 ( x − 1 ) − 4 ( x − 1 ) e 2 x = 4 ( x − 1 ) ( 1 − e 2 x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că ecuația f ( x ) + n = 0 f(x)+n=0 f ( x ) + n = 0 n n n
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 f'(x)=0\Leftrightarrow x=0 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 x = 1 x=1 x = 1 x ∈ ( − ∞ , 0 ] x\in(-\infty,0] x ∈ ( − ∞ , 0 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f ( − ∞ , 0 ] (-\infty,0] ( − ∞ , 0 ] x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x ∈ [ 0 , 1 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] x ∈ ( 1 , + ∞ ) x\in(1,+\infty) x ∈ ( 1 , + ∞ ) f ′ ( x ) < 0 f'(x)<0 f ′ ( x ) < 0 f f f ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ ) 3 p Cum f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty x → + ∞ lim f ( x ) = − ∞ f f f f ( x ) + n = 0 f(x)+n=0 f ( x ) + n = 0 n n n 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ln x / x 3 f(x)=\ln x/x^3 f ( x ) = ln x / x 3
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = ( 1 − 3 ln x ) / x 4 f\prime(x)=(1-3\ln x)/x^4 f ′ ( x ) = ( 1 − 3 ln x ) / x 4 x > 0 x>0 x > 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea produsului/raportului. 3 p Simplificarea în forma cerută. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x)=m are cel puțin o soluție.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m ∈ ( − ∞ , 1 / ( 3 e ) ] m\in(-\infty,1/(3e)] m ∈ ( − ∞ , 1/ ( 3 e )]
Criterii (după barem) Monotonia și punctul critic. 2 p Limita la 0, valoarea maximă și imaginea funcției. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x − 2 x + 2 + ln x + 2 x f(x)=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}x f ( x ) = x + 2 2 x − 2 + ln x x + 2
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 4 ( x − 1 ) x ( x + 2 ) 2 f\prime(x)=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2} f ′ ( x ) = x ( x + 2 ) 2 4 ( x − 1 ) x > 0 x>0 x > 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea celor două componente. 3 p Aducerea la numitor și simplificarea. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați numerele naturale n pentru care ecuația f(x)=n nu are soluții.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: n ∈ { 0 , 1 } n\in\{0,1\} n ∈ { 0 , 1 }
Criterii (după barem) Monotonia și punctul de minim. 2 p Limita la 0 și naturale 0,1. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x − 2 + ln x x f(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x} f ( x ) = x 2 x − 2 + ln x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 3 − ln x x 2 f'(x)=\dfrac{3-\ln x}{x^2} f ′ ( x ) = x 2 3 − ln x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = ( 2 + 1 x ) ⋅ x − ( 2 x − 2 + ln x ) x 2 = f'(x)=\dfrac{\left(2+\frac1x\right)\cdot x-(2x-2+\ln x)}{x^2}= f ′ ( x ) = x 2 ( 2 + x 1 ) ⋅ x − ( 2 x − 2 + ln x ) = 3 p = 2 x + 1 − 2 x + 2 − ln x x 2 = 3 − ln x x 2 =\dfrac{2x+1-2x+2-\ln x}{x^2}=\dfrac{3-\ln x}{x^2} = x 2 2 x + 1 − 2 x + 2 − ln x = x 2 3 − ln x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.