Acasă Bacalaureat Matematică M1 Pe teme Legi de compoziție și structuri algebrice Legi de compoziție și structuri algebrice: Matematică M1 la Bacalaureat
51 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.2
Pe mulțimea M = ( 1 , + ∞ ) M=(1,+\infty) M = ( 1 , + ∞ ) x ∗ y = x y − 1 ( x − 1 ) ( y − 1 ) x*y=\dfrac{xy-1}{(x-1)(y-1)} x ∗ y = ( x − 1 ) ( y − 1 ) x y − 1
II.2.a 5 p Arătați că 3 ∗ 5 = 7 / 4 3*5=7/4 3 ∗ 5 = 7/4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea lui 3 și 5 în formula legii. 3 p Simplificarea la 7 / 4 7/4 7/4 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x ∈ M x\in M x ∈ M x ∗ x = 3 x*x=3 x ∗ x = 3
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 2 x=2 x = 2
Criterii (după barem) Simplificarea la ( x + 1 ) / ( x − 1 ) (x+1)/(x-1) ( x + 1 ) / ( x − 1 ) 3 p Rezolvarea și verificarea lui x=2. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Demonstrați că ( x ∗ 2 ) ∗ x > 2 (x*2)*x>2 ( x ∗ 2 ) ∗ x > 2 x ∈ M x\in M x ∈ M
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculul celor două compuneri până la ( 2 x 2 − 2 x + 1 ) / ( x ( x − 1 ) ) (2x^2-2x+1)/(x(x-1)) ( 2 x 2 − 2 x + 1 ) / ( x ( x − 1 )) 3 p Scrierea 2 + 1 / ( x ( x − 1 ) ) 2+1/(x(x-1)) 2 + 1/ ( x ( x − 1 )) 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∗ y = ( x 2 + 2 ) ( y 2 + 2 ) + m x*y=\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m} x ∗ y = ( x 2 + 2 ) ( y 2 + 2 ) + m m ∈ [ − 4 , + ∞ ) m\in[-4,+\infty) m ∈ [ − 4 , + ∞ )
II.2.a 5 p Pentru m=3, arătați că 0 ∗ 1 = 3 0*1=3 0 ∗ 1 = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în lege. 3 p sqrt 9=3. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru m=7, determinați numerele reale x pentru care x ∗ ( 2 x ) = 5 x*(2x)=5 x ∗ ( 2 x ) = 5
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 1 , 1 } x\in\{-1,1\} x ∈ { − 1 , 1 }
Criterii (după barem) Înlocuirea lui m și expresia x*(2 x). 2 p Ecuația biquadratică și rădăcinile-1,1. 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați m ∈ [ − 4 , + ∞ ) m\in[-4,+\infty) m ∈ [ − 4 , + ∞ )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 2 m=-2 m = − 2
Criterii (după barem) Scrierea identității de asociativitate și dezvoltarea compunerilor. 3 p Condiția necesară și suficientă m=-2. 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∗ y = 2 3 ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3 x*y=\frac23(x-3)(y-3)+3 x ∗ y = 3 2 ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3
II.2.a 5 p Arătați că 0 ∗ 2 = 5 0*2=5 0 ∗ 2 = 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în legea de compoziție. 3 p Calcularea rezultatului 5. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R x ∗ 3 x 2 = 5 x x*\frac{3x}{2}=5x x ∗ 2 3 x = 5 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { 1 , 9 } x\in\{1,9\} x ∈ { 1 , 9 }
Criterii (după barem) Obținerea expresiei x 2 − 5 x + 9 x^2-5x+9 x 2 − 5 x + 9 2 p Rezolvarea ecuației și soluțiile 1 și 9. 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile ( m , n ) ∈ N 2 (m,n)\in\mathbb N^2 ( m , n ) ∈ N 2 m ∗ m ∗ n = − 1 m*m*n=-1 m ∗ m ∗ n = − 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( m , n ) ∈ { ( 0 , 2 ) , ( 6 , 2 ) } (m,n)\in\{(0,2),(6,2)\} ( m , n ) ∈ {( 0 , 2 ) , ( 6 , 2 )}
Criterii (după barem) Calcularea lui m ∗ m m*m m ∗ m m ∗ m ∗ n m*m*n m ∗ m ∗ n 2 p Reducerea la ( m − 3 ) 2 ( n − 3 ) = − 9 (m-3)^2(n-3)=-9 ( m − 3 ) 2 ( n − 3 ) = − 9 ( 0 , 2 ) , ( 6 , 2 ) (0,2),(6,2) ( 0 , 2 ) , ( 6 , 2 ) 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∗ y = x 2 y + x y 2 + x + y x*y=x^2y+xy^2+x+y x ∗ y = x 2 y + x y 2 + x + y
II.2.a 5 p Arătați că 1 ∗ 3 = 16 1*3=16 1 ∗ 3 = 16
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în lege. 3 p Rezultatul 16. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numerele reale nenule x pentru care x ∗ ( 2 / x ) = 9 x x*(2/x)=9x x ∗ ( 2/ x ) = 9 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 1 , 1 } x\in\{-1,1\} x ∈ { − 1 , 1 }
Criterii (după barem) Simplificarea operației la(3 x^2+6)/x. 3 p Ecuația și soluțiile-1,1. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile întregi ( m , n ) (m,n) ( m , n ) m ≤ n m\le n m ≤ n m ∗ n = 1 m*n=1 m ∗ n = 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( m , n ) ∈ { ( − 2 , 1 ) , ( 0 , 1 ) } (m,n)\in\{(-2,1),(0,1)\} ( m , n ) ∈ {( − 2 , 1 ) , ( 0 , 1 )}
Criterii (după barem) Factorizarea legii. 2 p Analiza celor două cazuri și perechile. 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe M = ( 0 , + ∞ ) M=(0,+\infty) M = ( 0 , + ∞ ) x ∗ y = x y + 1 x y + x + y 2 − 2 x*y=\sqrt{xy}+\dfrac1{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}2-2 x ∗ y = x y + x y 1 + 2 x + y − 2
II.2.a 5 p Arătați că 1 ∗ 4 = 3 1*4=3 1 ∗ 4 = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea în lege. 3 p Rezultatul 3. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x ∈ M x\in M x ∈ M x ∗ x = 1 x*x=1 x ∗ x = 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { 1 / 2 , 1 } x\in\{1/2,1\} x ∈ { 1/2 , 1 }
Criterii (după barem) Simplificarea operației x*x. 2 p Ecuația și rădăcinile 1/2,1. 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Demonstrați că [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrierea cu pătrat și majorarea prin media aritmetică. 3 p Media≥1 și stabilitatea. 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 5 ( x − 1 ) ( y − 1 ) + 1 x*y=5(x-1)(y-1)+1 x ∗ y = 5 ( x − 1 ) ( y − 1 ) + 1
II.2.a 5 p Arătați că 1 ∗ 3 = 1 1*3=1 1 ∗ 3 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 1 ∗ 3 = 5 ( 1 − 1 ) ( 3 − 1 ) + 1 = 1*3=5(1-1)(3-1)+1= 1 ∗ 3 = 5 ( 1 − 1 ) ( 3 − 1 ) + 1 = 3 p = 0 + 1 = 1 =0+1=1 = 0 + 1 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că e = 6 5 e=\dfrac65 e = 5 6 ∗ * ∗
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x ∗ 6 5 = 5 ( x − 1 ) ( 6 5 − 1 ) + 1 = x − 1 + 1 = x x*\dfrac65=5(x-1)\left(\dfrac65-1\right)+1=x-1+1=x x ∗ 5 6 = 5 ( x − 1 ) ( 5 6 − 1 ) + 1 = x − 1 + 1 = x x x x 2 p 6 5 ∗ x = 5 ( 6 5 − 1 ) ( x − 1 ) + 1 = x − 1 + 1 = x \dfrac65*x=5\left(\dfrac65-1\right)(x-1)+1=x-1+1=x 5 6 ∗ x = 5 ( 5 6 − 1 ) ( x − 1 ) + 1 = x − 1 + 1 = x x x x e = 6 5 e=\dfrac65 e = 5 6 ∗ * ∗ 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile ( m , n ) (m,n) ( m , n ) m 25 \dfrac{m}{25} 25 m n n n ∗ * ∗
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( 24 , 0 ) (24,0) ( 24 , 0 ) ( 26 , 2 ) (26,2) ( 26 , 2 )
Criterii (după barem) m 25 ∗ n = n ∗ m 25 = 6 5 \dfrac{m}{25}*n=n*\dfrac{m}{25}=\dfrac65 25 m ∗ n = n ∗ 25 m = 5 6 5 ( m 25 − 1 ) ( n − 1 ) + 1 = 5 ( n − 1 ) ( m 25 − 1 ) + 1 = 6 5 5\left(\dfrac{m}{25}-1\right)(n-1)+1=5(n-1)\left(\dfrac{m}{25}-1\right)+1=\dfrac65 5 ( 25 m − 1 ) ( n − 1 ) + 1 = 5 ( n − 1 ) ( 25 m − 1 ) + 1 = 5 6 3 p ( m − 25 ) ( n − 1 ) = 1 (m-25)(n-1)=1 ( m − 25 ) ( n − 1 ) = 1 m m m n n n ( 24 , 0 ) (24,0) ( 24 , 0 ) ( 26 , 2 ) (26,2) ( 26 , 2 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 4 − 1 2 ( x − 4 ) ( y − 4 ) x*y=4-\dfrac12(x-4)(y-4) x ∗ y = 4 − 2 1 ( x − 4 ) ( y − 4 )
II.2.a 5 p Arătați că 6 ∗ 7 = 1 6*7=1 6 ∗ 7 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 6 ∗ 7 = 4 − 1 2 ( 6 − 4 ) ( 7 − 4 ) = 6*7=4-\dfrac12(6-4)(7-4)= 6 ∗ 7 = 4 − 2 1 ( 6 − 4 ) ( 7 − 4 ) = 3 p = 4 − 3 = 1 =4-3=1 = 4 − 3 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real x x x x ∗ ( x + 4 ) = 6 x*(x+4)=6 x ∗ ( x + 4 ) = 6
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 2 x=2 x = 2
Criterii (după barem) x ∗ ( x + 4 ) = 4 − 1 2 ( x − 4 ) x x*(x+4)=4-\dfrac12(x-4)x x ∗ ( x + 4 ) = 4 − 2 1 ( x − 4 ) x x x x 2 p 4 − 1 2 ( x − 4 ) x = 6 4-\dfrac12(x-4)x=6 4 − 2 1 ( x − 4 ) x = 6 x = 2 x=2 x = 2 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.