Acasă Bacalaureat Matematică M2 Pe teme Limite, continuitate și asimptote Limite, continuitate și asimptote: Matematică M2 la Bacalaureat
18 cerințe oficiale din subiectele de Bac. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = e x ( x 2 + x − 1 ) f(x)=e^x(x^2+x-1) f ( x ) = e x ( x 2 + x − 1 )
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 0 e x + f ( x ) f ′ ( x ) = 1 / 3 \lim_{x\to0}\dfrac{e^x+f(x)}{f\prime(x)}=1/3 lim x → 0 f ′ ( x ) e x + f ( x ) = 1/3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea și reducerea factorilor. 3 p Limita 1/3. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 1 x − 1 + 4 ln ( x + 3 ) f(x)=\dfrac1x-1+4\ln(x+3) f ( x ) = x 1 − 1 + 4 ln ( x + 3 )
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 1 4 ln ( x + 3 ) − f ( x ) ln x = 1 \lim_{x\to1}\dfrac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=1 lim x → 1 ln x 4 ln ( x + 3 ) − f ( x ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Simplificarea și calculul limitei prin l'Hospital sau echivalent. 3 p Rezultatul 1. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x − 1 ) x + 2 x f(x)=(x-1)\sqrt x+\dfrac{2}{\sqrt x} f ( x ) = ( x − 1 ) x + x 2
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 1 x ⋅ f ′ ( x ) 5 x − 5 = 1 2 \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt x\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac12 x → 1 lim 5 x − 5 x ⋅ f ′ ( x ) = 2 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → 1 x ⋅ f ′ ( x ) 5 x − 5 = lim x → 1 3 x 2 − x − 2 2 x ( 5 x − 5 ) = lim x → 1 ( 3 x + 2 ) ( x − 1 ) 10 x ( x − 1 ) = \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt x\cdot f'(x)}{5x-5}=\lim_{x\to1}\frac{3x^2-x-2}{2x(5x-5)}=\lim_{x\to1}\frac{(3x+2)(x-1)}{10x(x-1)}= x → 1 lim 5 x − 5 x ⋅ f ′ ( x ) = x → 1 lim 2 x ( 5 x − 5 ) 3 x 2 − x − 2 = x → 1 lim 10 x ( x − 1 ) ( 3 x + 2 ) ( x − 1 ) = 3 p = lim x → 1 3 x + 2 10 x = 1 2 \displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{3x+2}{10x}=\frac12 = x → 1 lim 10 x 3 x + 2 = 2 1 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x ) f(x)=e^x(2x^2-3x) f ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x )
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 0 f ( x ) − x f ( x ) + x = 2 \lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2 lim x → 0 f ( x ) + x f ( x ) − x = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea limitei 0/0, de exemplu prin regula lui l'Hôpital. 2 p Calcularea limitei 2. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x 2 + 8 x − 2 x 2 + 2 f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2} f ( x ) = x 2 + 2 x 2 + 8 x − 2
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 1 y=1 y = 1
Criterii (după barem) lim x → + ∞ x 2 + 8 x − 2 x 2 + 2 = lim x → + ∞ x 2 ( 1 + 8 x − 2 x 2 ) x 2 ( 1 + 2 x 2 ) = lim x → + ∞ 1 + 8 x − 2 x 2 1 + 2 x 2 = 1 \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1+\frac8x-\frac2{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac2{x^2}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac8x-\frac2{x^2}}{1+\frac2{x^2}}=1 x → + ∞ lim x 2 + 2 x 2 + 8 x − 2 = x → + ∞ lim x 2 ( 1 + x 2 2 ) x 2 ( 1 + x 8 − x 2 2 ) = x → + ∞ lim 1 + x 2 2 1 + x 8 − x 2 2 = 1 3 p Dreapta de ecuație y = 1 y=1 y = 1 + ∞ +\infty + ∞ f f f 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x 2 − 5 ) x f(x)=(x^2-5)\sqrt x f ( x ) = ( x 2 − 5 ) x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ f ′ ( x ) x x = 5 / 2 \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f\prime(x)}{x\sqrt x}=5/2 lim x → + ∞ x x f ′ ( x ) = 5/2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Simplificarea raportului. 3 p Limita 5/2. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = e x x 2 + 3 x + 3 f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3} f ( x ) = x 2 + 3 x + 3 e x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Prima aplicare a lui l’Hospital. 3 p A doua aplicare și limita+inf. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Fie f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x x 2 + x + 2 f(x)=\frac{2\sqrt x}{x^2+x+2} f ( x ) = x 2 + x + 2 2 x
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 0 y=0 y = 0
Criterii (după barem) Calcularea limitei la + ∞ +\infty + ∞ 3 p Ecuația asimptotei y = 0 y=0 y = 0 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 3 x − 1 + ln x f(x)=x^2-3x-1+\ln x f ( x ) = x 2 − 3 x − 1 + ln x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 1 f ( x ) + 3 x ln x = 3 \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=3 x → 1 lim ln x f ( x ) + 3 x = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → 1 f ( x ) + 3 x ln x = lim x → 1 x 2 − 1 + ln x ln x = lim x → 1 ( x 2 − 1 + ln x ) ′ ( ln x ) ′ = \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1+\ln x}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{\left(x^2-1+\ln x\right)'}{(\ln x)'}= x → 1 lim ln x f ( x ) + 3 x = x → 1 lim ln x x 2 − 1 + ln x = x → 1 lim ( ln x ) ′ ( x 2 − 1 + ln x ) ′ = 3 p = lim x → 1 2 x + 1 x 1 x = 3 \displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{2x+\frac1x}{\frac1x}=3 = x → 1 lim x 1 2 x + x 1 = 3 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Fie f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 ln x f(x)=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x f ( x ) = x x 2 − 2 − 3 ln x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ f ( x ) + 3 ln x x + 1 = 1 \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1 lim x → + ∞ x + 1 f ( x ) + 3 l n x = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Reducerea logaritmilor și împărțirea la x. 3 p Calculul limitei 1. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 3 − x x 2 + ln x f(x)=\dfrac{3-x}{x^2}+\ln x f ( x ) = x 2 3 − x + ln x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ ( f ( x ) − ln x ) = 0 \lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-\ln x\big)=0 x → + ∞ lim ( f ( x ) − ln x ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → + ∞ ( f ( x ) − ln x ) = lim x → + ∞ 3 − x x 2 = lim x → + ∞ ( 3 x 2 − x x 2 ) = \lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-\ln x\big)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac3{x^2}-\dfrac{x}{x^2}\right)= x → + ∞ lim ( f ( x ) − ln x ) = x → + ∞ lim x 2 3 − x = x → + ∞ lim ( x 2 3 − x 2 x ) = 3 p = lim x → + ∞ ( 3 x 2 − 1 x ) = 0 =\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac3{x^2}-\dfrac1x\right)=0 = x → + ∞ lim ( x 2 3 − x 1 ) = 0 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Fie f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 2 x x 2 + x + 4 f(x)=\frac{2x}{x^2+x+4} f ( x ) = x 2 + x + 4 2 x
III.1.b 5 p Determinați asimptota orizontală spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 0 y=0 y = 0
Criterii (după barem) Calcularea limitei 0 la + ∞ +\infty + ∞ 3 p Ecuația asimptotei y = 0 y=0 y = 0 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Fie f : ( − 1 , + ∞ ) → R f:(-1,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x + x + 1 e x f(x)=x+\frac{\sqrt{x+1}}{e^x} f ( x ) = x + e x x + 1
III.1.b 5 p Determinați asimptota oblică spre +∞ la graficul lui f.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = x y=x y = x
Criterii (după barem) Panta, limita f(x)/x=1. 2 p Termenul liber și asimptota y=x. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x + 1 + ln x x f(x)=\frac{2x+1+\ln x}{x} f ( x ) = x 2 x + 1 + l n x
III.1.b 5 p Determinați asimptota orizontală spre + ∞ +\infty + ∞
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 2 y=2 y = 2
Criterii (după barem) Limita funcției la infinit egală cu 2. 3 p Asimptota orizontală y=2. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 5 + 4 x − 4 x 2 f(x)=5+\frac{4x-4}{x^2} f ( x ) = 5 + x 2 4 x − 4
III.1.b 5 p Determinați asimptota orizontală spre + ∞ +\infty + ∞
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 5 y=5 y = 5
Criterii (după barem) Calcularea limitei la infinit egale cu 5. 3 p Identificarea asimptotei y=5. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x 2 + 1 + ln x f(x)=2x^2+1+\ln x f ( x ) = 2 x 2 + 1 + ln x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ f ( x ) − ln x x 2 + x + 4 = 2 \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4}=2 lim x → + ∞ x 2 + x + 4 f ( x ) − ln x = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Simplificarea și împărțirea la x^2. 3 p Limita 2. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x 2 + x + 1 x 2 + 1 f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}} f ( x ) = x 2 + 1 x 2 + x + 1
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre − ∞ -\infty − ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 1 y=1 y = 1
Criterii (după barem) Calculul limitei lim x → − ∞ f ( x ) = 1 \lim_{x\to-\infty}f(x)=1 lim x → − ∞ f ( x ) = 1 3 p Identificarea asimptotei y = 1 y=1 y = 1 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( − 2 , + ∞ ) → R f:(-2,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 2 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 + 4 x − 1 2 ln ( x + 2 ) f(x)=x^2+4x-\dfrac12\ln(x+2) f ( x ) = x 2 + 4 x − 2 1 ln ( x + 2 )
III.1.b 5 p Calculați lim x → + ∞ x 2 + 4 x − f ( x ) x \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+4x-f(x)}x x → + ∞ lim x x 2 + 4 x − f ( x )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
0 0 0
Verifică-te pe barem Răspuns: 0 0 0
Criterii (după barem) Simplificarea expresiei la ln ( x + 2 ) / ( 2 x ) \ln(x+2)/(2x) ln ( x + 2 ) / ( 2 x ) 2 p Calculul limitei 0 0 0 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.