Acasă Bacalaureat Matematică M1 Pe teme Limite, continuitate și asimptote Limite, continuitate și asimptote: Matematică M1 la Bacalaureat
17 cerințe oficiale din subiectele de Bac. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.1
Se consideră funcția f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1,+\infty)\to\mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = e x − 2 x − 1 f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}} f ( x ) = x − 1 e x − 2
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 2 ( f ( x ) ) 1 / ( x − 2 ) = e \lim_{x\to2}(f(x))^{1/(x-2)}=\sqrt e lim x → 2 ( f ( x ) ) 1/ ( x − 2 ) = e
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Transformarea formei 1^inf sau folosirea logaritmului. 3 p Calculul exponentului 1/2 și limita sqrt(e). 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x 3 − 4 x x 2 + 5 f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2+5} f ( x ) = x 2 + 5 x 3 − 4 x
III.1.b 5 p Arătați că dreapta y = x y=x y = x + ∞ +\infty + ∞
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrierea limitei diferenței f ( x ) − x f(x)-x f ( x ) − x 2 p Calcularea limitei 0 și identificarea asimptotei y = x y=x y = x 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 2 x 2 − 4 x − 3 − ( 2 x − 3 ) e 2 x f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x} f ( x ) = 2 x 2 − 4 x − 3 − ( 2 x − 3 ) e 2 x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 0 f ( x ) x 2 = 4 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=4 x → 0 lim x 2 f ( x ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → 0 f ( x ) x 2 = lim x → 0 f ′ ( x ) ( x 2 ) ′ = lim x → 0 4 ( x − 1 ) ( 1 − e 2 x ) 2 x \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{\left(x^2\right)'}=\lim_{x\to0}\frac{4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)}{2x} x → 0 lim x 2 f ( x ) = x → 0 lim ( x 2 ) ′ f ′ ( x ) = x → 0 lim 2 x 4 ( x − 1 ) ( 1 − e 2 x ) 3 p lim x → 0 1 − e 2 x 2 x = − 1 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-e^{2x}}{2x}=-1 x → 0 lim 2 x 1 − e 2 x = − 1 lim x → 0 f ( x ) x 2 = 4 ( − 1 ) ( − 1 ) = 4 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=4(-1)(-1)=4 x → 0 lim x 2 f ( x ) = 4 ( − 1 ) ( − 1 ) = 4 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ln x / x 3 f(x)=\ln x/x^3 f ( x ) = ln x / x 3
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 0 y=0 y = 0
Criterii (după barem) Calculul limitei 0. 3 p Ecuația y=0. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x − 2 x + 2 + ln x + 2 x f(x)=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}x f ( x ) = x + 2 2 x − 2 + ln x x + 2
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 2 y=2 y = 2
Criterii (după barem) Calculul limitei 2. 3 p Ecuația asimptotei y=2. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x − 2 + ln x x f(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x} f ( x ) = x 2 x − 2 + ln x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 1 f ( x ) ln x = 3 \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}=3 x → 1 lim ln x f ( x ) = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → 1 f ( x ) ln x = lim x → 1 2 x − 2 + ln x x ln x = lim x → 1 ( 2 x − 2 + ln x ) ′ ( x ln x ) ′ = \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{2x-2+\ln x}{x\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{(2x-2+\ln x)'}{(x\ln x)'}= x → 1 lim ln x f ( x ) = x → 1 lim x ln x 2 x − 2 + ln x = x → 1 lim ( x ln x ) ′ ( 2 x − 2 + ln x ) ′ = 3 p = lim x → 1 2 + 1 x ln x + 1 = 3 \displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{2+\frac1x}{\ln x+1}=3 = x → 1 lim ln x + 1 2 + x 1 = 3 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Fie f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x + ln x x + 2 f(x)=2x+\ln\frac{x}{x+2} f ( x ) = 2 x + ln x + 2 x
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei oblice spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 2 x y=2x y = 2 x
Criterii (după barem) Calcularea pantei asimptotei prin limita f ( x ) / x = 2 f(x)/x=2 f ( x ) / x = 2 2 p Limita f ( x ) − 2 x = 0 f(x)-2x=0 f ( x ) − 2 x = 0 y = 2 x y=2x y = 2 x 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = ( x − 5 ) x 2 + 2 f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2} f ( x ) = ( x − 5 ) x 2 + 2
III.1.c 5 p Arătați că lim x → + ∞ ( x 2 − 5 x f ( x ) ) x = 1 \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=1 x → + ∞ lim ( f ( x ) x 2 − 5 x ) x = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → + ∞ ( x 2 − 5 x f ( x ) ) x = lim x → + ∞ ( 1 − 2 x 2 + 2 ) x 2 = lim x → + ∞ ( ( 1 − 2 x 2 + 2 ) − x 2 + 2 2 ) − x x 2 + 2 = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{\frac x2}=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{-\frac{x^2+2}{2}}\right)^{-\frac{x}{x^2+2}}= x → + ∞ lim ( f ( x ) x 2 − 5 x ) x = x → + ∞ lim ( 1 − x 2 + 2 2 ) 2 x = x → + ∞ lim ( 1 − x 2 + 2 2 ) − 2 x 2 + 2 − x 2 + 2 x = 3 p = e lim x → + ∞ ( − x x 2 + 2 ) = e 0 = 1 =e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\frac{x}{x^2+2}\right)}=e^0=1 = e x → + ∞ l i m ( − x 2 + 2 x ) = e 0 = 1 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Fie f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1,+\infty)\to\mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x − e − x x − 1 f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1} f ( x ) = x − x − 1 e − x
III.1.b 5 p Determinați asimptota oblică la + ∞ +\infty + ∞
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = x y=x y = x
Criterii (după barem) Panta asimptotei, limita f(x)/x=1. 3 p Limita f(x)-x=0 și dreapta y=x. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1,+\infty)\to\mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = 4 x 3 ( x − 1 ) 2 f(x)=\dfrac{4x^3}{(x-1)^2} f ( x ) = ( x − 1 ) 2 4 x 3
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei oblice spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 4 x + 8 y=4x+8 y = 4 x + 8
Criterii (după barem) lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → + ∞ 4 x 2 ( x − 1 ) 2 = 4 \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2}{(x-1)^2}=4 x → + ∞ lim x f ( x ) = x → + ∞ lim ( x − 1 ) 2 4 x 2 = 4 2 p lim x → + ∞ ( f ( x ) − 4 x ) = lim x → + ∞ 8 x 2 − 4 x ( x − 1 ) 2 = 8 \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-4x\big)=\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^2-4x}{(x-1)^2}=8 x → + ∞ lim ( f ( x ) − 4 x ) = x → + ∞ lim ( x − 1 ) 2 8 x 2 − 4 x = 8 y = 4 x + 8 y=4x+8 y = 4 x + 8 + ∞ +\infty + ∞ f f f 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Fie f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = e x ( 2 x − 4 ) + x 2 − 2 x + 4 f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4 f ( x ) = e x ( 2 x − 4 ) + x 2 − 2 x + 4
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 0 f ( x ) 1 − e x = 4 \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-e^x}=4 lim x → 0 1 − e x f ( x ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Forma 0/0 și aplicarea regulii lui l Hospital. 3 p Calcularea limitei 4. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = ( x 2 − 2 ) e 2 x f(x)=\left(x^2-2\right)e^{2x} f ( x ) = ( x 2 − 2 ) e 2 x
III.1.b 5 p Calculați lim x → + ∞ f ( x ) f ′ ( x ) \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)} x → + ∞ lim f ′ ( x ) f ( x )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 1 2 \dfrac12 2 1
Criterii (după barem) lim x → + ∞ f ( x ) f ′ ( x ) = lim x → + ∞ x 2 − 2 2 ( x 2 + x − 2 ) = lim x → + ∞ x 2 ( 1 − 2 x 2 ) 2 x 2 ( 1 + 1 x − 2 x 2 ) = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-2}{2\left(x^2+x-2\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac2{x^2}\right)}{2x^2\left(1+\frac1x-\frac2{x^2}\right)}= x → + ∞ lim f ′ ( x ) f ( x ) = x → + ∞ lim 2 ( x 2 + x − 2 ) x 2 − 2 = x → + ∞ lim 2 x 2 ( 1 + x 1 − x 2 2 ) x 2 ( 1 − x 2 2 ) = 3 p = lim x → + ∞ 1 − 2 x 2 2 ( 1 + 1 x − 2 x 2 ) = 1 2 \displaystyle=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac2{x^2}}{2\left(1+\frac1x-\frac2{x^2}\right)}=\frac12 = x → + ∞ lim 2 ( 1 + x 1 − x 2 2 ) 1 − x 2 2 = 2 1 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1,+\infty)\to\mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x + 3 ln x + 3 x − 1 f(x)=x+3\ln\frac{x+3}{x-1} f ( x ) = x + 3 ln x − 1 x + 3
III.1.b 5 p Determinați asimptota oblică spre + ∞ +\infty + ∞
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = x y=x y = x
Criterii (după barem) Determinarea limitei f(x)/x=1. 2 p Determinarea limitei f(x)-x=0 și ecuația y=x. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = ( x 3 + 3 x + 1 ) e − x f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x} f ( x ) = ( x 3 + 3 x + 1 ) e − x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ ( f ( x ) − e − x f ( x ) + e − x ) f ( x ) e x = e − 2 \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)^{f(x)e^x}=e^{-2} lim x → + ∞ ( f ( x ) + e − x f ( x ) − e − x ) f ( x ) e x = e − 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Rescrierea formei și limita fundamentală. 3 p Calculul exponentului-2 și rezultatul. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 4 + 16 x f(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}x f ( x ) = x x 4 + 16
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei oblice spre + ∞ +\infty + ∞
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = x y=x y = x
Criterii (după barem) Limita pantei 1. 2 p Limita termenului liber 0 și ecuația. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x e x e x + 2 f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x+2} f ( x ) = e x + 2 x e x
III.1.b 5 p Arătați că dreapta y = x y=x y = x + ∞ +\infty + ∞ f f f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculul pantei asimptotei: lim x → + ∞ f ( x ) / x = 1 \lim_{x\to+\infty}f(x)/x=1 lim x → + ∞ f ( x ) / x = 1 2 p Calculul lim x → + ∞ ( f ( x ) − x ) = 0 \lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0 lim x → + ∞ ( f ( x ) − x ) = 0 y = x y=x y = x 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x − x 2 + 3 f(x)=x-\sqrt{x^2+3} f ( x ) = x − x 2 + 3
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 0 y=0 y = 0
Criterii (după barem) Raționalizarea și calculul limitei lim x → + ∞ f ( x ) = 0 \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 lim x → + ∞ f ( x ) = 0 3 p Identificarea asimptotei y = 0 y=0 y = 0 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.