Distanțe în spațiu: formule și exerciții de la Evaluarea Națională

În Figura 1 este reprezentat un cub $ABCDEFGH$ cu $AB = 4\text{ cm}$. Distanța dintre planul $(ABC)$ și planul $(EFH)$ este egală cu $\ldots\text{ cm}$.

Arătați că aria patrulaterului $ABB'A'$ este egală cu $144\sqrt3\text{ cm}^2$.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $A'B$ și planul $(ABC)$.

Demonstrați că distanța de la punctul $M$ la planul $(ABC)$ este egală cu $6\sqrt3\text{ cm}$.

Arătați că lungimea segmentului $CO$ este egală cu $6\sqrt3\text{ cm}$.

Demonstrați că planele $(MNP)$ și $(ABC)$ sunt paralele.

Determinați distanța dintre planele paralele $(MNP)$ și $(ABC)$.

Calculați distanța de la punctul $A$ la planul $(BCE)$.

Calculați volumul cortului.

Verificați dacă, pentru confecționarea cortului, sunt suficienți $22\text{ m}^2$ de pânză specială (toate fețele cortului sunt din pânză, inclusiv podeaua).

Calculați distanța dintre punctele $A$ și $C'$.

Calculați aria laterală a bazinului.

În bazin se află $96000$ litri de apă. Calculați înălțimea la care se ridică apa în bazin.

Arătați că vasul $ABCDEFGH$ și cutia $BMNCPQRS$ au același volum.

O furnică parcurge traseul $D \to H \to G \to S \to Q \to N$. Calculați lungimea traseului.

În vasul în formă de cub se toarnă un litru de apă. Arătați că înălțimea la care se ridică apa în vas este mai mică de $7\text{ cm}$.

Arată că aria triunghiului $MNP$ este egală cu $8\sqrt{3}\text{ cm}^2$.

Arată că distanta la punctul $D'$ la planul $(MNP)$ este egală cu $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$.

Arată că $CP = 6\sqrt{2}\text{ cm}$.

Arată că sinusul unghiului dreptelor $DP$ și $CM$ este egal cu $\dfrac{\sqrt{33}}{6}$.

Calculează aria laterală a prismei $ABCDA'B'C'D'$.

Arată că distanța de la punctul $A'$ la planul $(C'BD)$ este egală cu $\dfrac{8\sqrt{10}}{5}\text{ cm}$.

Arată că volumul cubului $ABCDEFGH$ este egal cu $216\text{ cm}^3$.

Calculează distanța de la punctul $H$ la planul $(CMN)$.

Arată că lungimea segmentului $MN$ este egală cu $10\sqrt{2}\text{ cm}$.

Determină măsura unghiului dreptelor $MN$ și $BD$.

Arată că volumul cubului $ABCDA'B'C'D'$ este egal cu $216\text{ cm}^3$.

Punctul $N$ este mijlocul segmentului $BB'$, punctul $M$ este mijlocul segmentului $CC'$, $AN \cap (A'B'C') = \{P\}$ și $D'M \cap (ABC) = \{Q\}$. Determină lungimea segmentului $PQ$.

Arată că aria laterală a prismei $ABCA'B'C'$ este egală cu $108\sqrt{3}\text{ cm}^2$.

Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(A'B'C)$.

Calculează volumul cubului $ABCDA'B'C'D'$.

Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(CMD)$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $A'B'$.

Arată că măsura unghiului dreptelor $AB'$ și $BC'$ este egală cu $60^\circ$.

Calculează distanța de la punctul $C$ la planul $(BDC')$.