Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 4 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu AB=20 cmAB=20\text{ cm}, AD=10 cmAD=10\text{ cm} și AA′=10 cmAA'=10\text{ cm}. Punctele M,N,P,QM,N,P,Q sunt mijloacele segmentelor ABAB, DCDC, D′C′D'C' și, respectiv, A′B′A'B'.

Figura 3: paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu M,N,P,Q mijloacele muchiilor AB,DC,D'C',A'B'; sunt trasate MN, NP și PQ.

a)5 p

Arătați că volumul paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' este egal cu 2000 cm32000\text{ cm}^3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. V=AB⋅AD⋅AA′V=AB\cdot AD\cdot AA'3 p
  2. V=20⋅10⋅10=2000 cm3V=20\cdot10\cdot10=2000\text{ cm}^32 p

b)5 p

Determinați lungimea segmentului AC′AC'.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 106 cm10\sqrt6\text{ cm}

Barem oficial

  1. CC′⊥(ABC)CC'\perp(ABC) și AC⊂(ABC)AC\subset(ABC), deci CC′⊥ACCC'\perp AC2 p
  2. AC=105 cmAC=10\sqrt5\text{ cm} și CC′=10 cmCC'=10\text{ cm}, deci AC′=AC2+CC′2=106 cmAC'=\sqrt{AC^2+CC'^2}=10\sqrt6\text{ cm}3 p

c)5 p

Demonstrați că unghiul dintre planele (AMQ)(AMQ) și (ANP)(ANP) are măsura de 45∘45^\circ.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. (AMQ)∩(ANP)=AA′(AMQ)\cap(ANP)=AA', AM⊥AA′AM\perp AA', AM⊂(AMQ)AM\subset(AMQ), AN⊥AA′AN\perp AA', AN⊂(ANP)AN\subset(ANP), deci unghiul planelor este ∠MAN\angle MAN3 p
  2. AMNDAMND este pătrat, deci m(∠MAN)=45∘m(\angle MAN)=45^\circ2 p

· Toate exercițiile din Evaluarea Națională 2020, matematică, Test 4 (setul 1) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

Evaluarea Națională 2026, iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →Evaluarea Națională 2026, model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →Evaluarea Națională 2026, rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și volume ale corpurilorDistanțe în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghicUnghiuri în spațiuParalelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).