Evaluare Națională 2020 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi ABCDABCD cu AB=24 cmAB = 24\text{ cm} și BC=10 cmBC = 10\text{ cm}. Punctul OO este intersecția dreptelor ACAC și BDBD, iar dreapta EOEO este perpendiculară pe planul (ABC)(ABC). Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele segmentelor ABAB, ADAD, respectiv AEAE.

Figura 3: dreptunghiul ABCD cu centrul O și punctul E deasupra lui O (EO perpendiculară pe plan); M, N, P mijloacele lui AB, AD, AE.

a)5 p

Arătați că aria dreptunghiului ABCDABCD este egală cu 240 cm2240\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AABCD=AB⋅BC=\mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot BC =3 p
  2. =24⋅10=240 cm2= 24 \cdot 10 = 240\text{ cm}^22 p

b)5 p

Demonstrați că planele (MNP)(MNP) și (BDE)(BDE) sunt paralele.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. MNMN este linie mijlocie în △ABD\triangle ABD și MPMP este linie mijlocie în △ABE\triangle ABE2 p
  2. MN∥BDMN \parallel BD, MP∥BEMP \parallel BE, MN∩MP={M}MN \cap MP = \{M\} și BD∩BE={B}⇒(MNP)∥(BDE)BD \cap BE = \{B\} \Rightarrow (MNP) \parallel (BDE)3 p

c)5 p

Arătați că distanța dintre planele (MNP)(MNP) și (BDE)(BDE) este egală cu 6013 cm\dfrac{60}{13}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. EO⊥(ABC)EO \perp (ABC), AT⊂(ABC)AT \subset (ABC), unde AT⊥BDAT \perp BD, T∈BD⇒EO⊥ATT \in BD \Rightarrow EO \perp AT și, cum BD∩EO={O}BD \cap EO = \{O\}, obținem AT⊥(BDE)AT \perp (BDE), deci, cum (MNP)∥(BDE)(MNP) \parallel (BDE), AT⊥(MNP)⇒d((MNP),(BDE))=TSAT \perp (MNP) \Rightarrow d((MNP), (BDE)) = TS, unde {S}=MN∩AT\{S\} = MN \cap AT3 p
  2. NN este mijlocul segmentului ADAD și NS∥BD⇒NSNS \parallel BD \Rightarrow NS este linie mijlocie în △ATD⇒TS=AT2\triangle ATD \Rightarrow TS = \dfrac{AT}{2} și, cum AT=AD⋅ABBD=12013 cmAT = \dfrac{AD \cdot AB}{BD} = \dfrac{120}{13}\text{ cm}, obținem TS=6013 cmTS = \dfrac{60}{13}\text{ cm}2 p

· Toate exercițiile din EN 2020, sesiunea iunie (Varianta 1) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru paralelism și perpendicularitate în spațiu · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Paralelism și perpendicularitate în spațiuArii și perimetre în planLinii importante în triunghiDistanțe în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).