Evaluare Națională 2019 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=22 cmAA' = 2\sqrt{2}\text{ cm}. Punctul OO este punctul de intersecție a dreptelor ACAC și BDBD.

Figura 3: prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătrată; O centrul bazei; E intersecția diagonalelor A'D și AD'; segmentele D'O și EO trasate.

a)5 p

Arătați că volumul prismei ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' este egal cu 322 cm332\sqrt{2}\text{ cm}^3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. VABCDA′B′C′D′=AB2⋅AA′=V_{ABCDA'B'C'D'} = AB^2 \cdot AA' =2 p
  2. =42⋅22=322 cm3= 4^2 \cdot 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\text{ cm}^33 p

b)5 p

Calculați lungimea segmentului D′OD'O.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: D′O=4 cmD'O = 4\text{ cm}

Barem oficial

  1. DO=BD2=22 cmDO = \dfrac{BD}{2} = 2\sqrt{2}\text{ cm}2 p
  2. △D′DO\triangle D'DO este dreptunghic în DD, deci D′O=4 cmD'O = 4\text{ cm}3 p

c)5 p

Demonstrați că sinusul unghiului dintre dreptele BC′BC' și EOEO este egal cu 223\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, unde EE este punctul de intersecție a dreptelor A′DA'D și AD′AD'.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. BC′∥AD′BC' \parallel AD', deci m(∠(BC′,EO))=m(∠(AD′,EO))m(\angle(BC', EO)) = m(\angle(AD', EO))1 p
  2. AD′=D′C=26 cmAD' = D'C = 2\sqrt{6}\text{ cm}, D′OD'O mediană în triunghiul isoscel D′AC⇒D′O⊥AOD'AC \Rightarrow D'O \perp AO, deci OF=AO⋅D′OAD′=433 cmOF = \dfrac{AO \cdot D'O}{AD'} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm}, unde OF⊥AD′OF \perp AD', F∈AD′F \in AD'2 p
  3. △EOF\triangle EOF este dreptunghic, deci sin⁡(∠(AD′,EO))=sin⁡(∠AEO)=OFOE=433⋅16=223\sin(\angle(AD', EO)) = \sin(\angle AEO) = \dfrac{OF}{OE} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{6}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}2 p

· Toate exercițiile din EN 2019, sesiunea iunie (Varianta 1) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și volume ale corpurilorRadicaliDistanțe în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghicUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).