Evaluare Națională 2018 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ cu $AB = 12\text{ cm}$ și $VO = 8\text{ cm}$ , unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris bazei $ABC$ . Punctele $M$ , $N$ , $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $VA$ , $AB$ , $AC$ și, respectiv, $BC$ .

Figura 3: piramida triunghiulară regulată VABC cu înălțimea VO; M, N, P, Q mijloacele lui VA, AB, AC, BC; segmentele MN, MP, NP și VQ.

a)5 p

Arătați că perimetrul bazei $ABC$ este egal cu $36\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P_{ABC} = 3AB =$ 2 p
$= 3 \cdot 12 = 36\text{ cm}$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta $VQ$ este paralelă cu planul $(MNP)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$NM$ este linie mijlocie în $\triangle ABV$ și $PM$ este linie mijlocie în $\triangle ACV$ 2 p
$BV \parallel NM$ , $CV \parallel PM$ , $BV \cap CV = \{V\}$ și $NM \cap PM = \{M\}$ , deci $(VBC) \parallel (MNP)$ și, cum $VQ \subset (VBC)$ , obținem $VQ \parallel (MNP)$ 3 p

c)5 p

Determinați numărul real $p$ , știind că volumul piramidei $MANP$ reprezintă $p\%$ din volumul piramidei $VABC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $p = 12{,}5$

Barem oficial

$MA = MN = MP$ și $\triangle ANP$ este echilateral, deci $MANP$ este piramidă triunghiulară regulată și $V_{MANP} = 12\sqrt{3}\text{ cm}^3$ și, cum $V_{VABC} = 96\sqrt{3}\text{ cm}^3$ , obținem $V_{VABC} = 8V_{MANP}$ 3 p
$V_{MANP} = \dfrac{p}{100} \cdot V_{VABC}$ , deci $p = 12{,}5$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2018, sesiunea iunie (Varianta 6) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Triunghiul: proprietăți și congruență Paralelism și perpendicularitate în spațiu Linii importante în triunghi Arii și volume ale corpurilor Teorema lui Thales și asemănarea Procente

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).