Teorema lui Thales și asemănarea: formule și exerciții de la Evaluarea Națională

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $BC = 10\text{ cm}$, $AC = 20\text{ cm}$ și măsura unghiului $ACB$ este egală cu $30^\circ$. Punctul $D$ aparține segmentului $AC$, astfel încât unghiul $DBC$ este congruent cu $BAC$.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB = 8\text{ cm}$. Notăm cu $M$ mijlocul laturii $AB$ și construim din $M$ perpendiculara pe $AC$, care intersectează pe $AC$ în $P$ și paralela prin $C$ la $AB$ în $D$.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $AB = 5\text{ cm}$ și $AC = 12\text{ cm}$. Punctul $D$ aparține segmentului $AC$ astfel încât $DC = 3AD$. Perpendiculara din punctul $D$ pe dreapta $BC$ intersectează latura $BC$ în punctul $E$.

În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=12\text{ cm}$ și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât $BC=2BD$ și $B\in(CD)$. Semidreapta $BM$, $M\in AD$, este bisectoarea unghiului $ABD$ și $N$ este punctul de intersecție dintre $AB$ și paralela prin $M$ la $BC$.

În Figura 3 este reprezentat un romb $ABCD$ cu $AC=12\sqrt3\text{ cm}$. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$, $VO=6\text{ cm}$. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt situate pe segmentele $VB$, $VC$ și, respectiv, $VO$ astfel încât $VM/VB=2/3$, $CN=4\text{ cm}$ și $VP=2PO$.

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$. Punctul $M$ aparține segmentului $AB$, astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$.

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $ABCD$ este pătrat, cu $AB = 4\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul arcului mic $AD$, iar dreptele $AD$ și $BM$ se intersectează în punctul $P$.

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$, în care $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$, dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $N$, $DN = 6\text{ cm}$ și $MN = 3\text{ cm}$.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$. Punctul $Q$ se află pe latura $AB$, astfel încât $BQ = 2\text{ cm}$. Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$, punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG \cap BC = \{M\}$.

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$. Punctele $M$, $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, $CD$, respectiv $AB$, iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$.

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 9\text{ cm}$ și $AC = 12\text{ cm}$. Punctul $M$ se află pe latura $AB$, $BM = 3\text{ cm}$. Paralela prin $M$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$, punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AG$ și $BC$.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AC = 9\text{ cm}$. Punctul $H$ este ortocentrul triunghiului $ABC$, punctul $M$ este proiecția punctului $H$ pe dreapta $AC$ și $HM = 2\text{ cm}$.

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB \parallel DC$, $\angle DAB = 90^\circ$, $AB = 8\text{ cm}$ și $AD = DC = 4\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $DC$ și $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $BD$.

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu $AB = 8\text{ cm}$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar dreptele $A'B$ și $AB'$ se intersectează în punctul $E$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $CC'$.