Evaluare Națională 2024 · Matematică · sesiunea iunie · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB = AC$ . Înălțimea din vârful $A$ intersectează latura $BC$ în punctul $D$ și $AD = BC$ . Înălțimea din vârful $B$ intersectează latura $AC$ în punctul $E$ . Înălțimile $AD$ și $BE$ se intersectează în punctul $H$ .

Triunghiul isoscel ABC cu înălțimile AD și BE, care se intersectează în H.

a)2 p

Arată că unghiurile $DAC$ și $EBC$ au aceeași măsură.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\angle DAC + \angle ACB = 90^\circ$ 1 p
$\angle ACB + \angle EBC = 90^\circ$ , de unde rezultă $\angle DAC = \angle EBC$ 1 p

b)3 p

Demonstrează că $AH = 3 \cdot HD$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Triunghiul $ABC$ este isoscel și $AD \perp BC$ , deci $BD = DC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{AD}{2}$ 1 p
$\angle HBD = \angle DAC$ , $\angle BDH = \angle ADC = 90^\circ$ , deci $\triangle BHD \sim \triangle ACD$ , de unde obținem $\dfrac{HD}{DC} = \dfrac{BD}{AD}$ 1 p
$\dfrac{HD}{AD/2} = \dfrac{AD/2}{AD} \Rightarrow HD = \dfrac{AD}{4}$ , de unde obținem $AH = \dfrac{3 \cdot AD}{4}$ , deci $AH = 3 \cdot HD$ 1 p

← Ex. 3 · Ex. 5 → · Toate exercițiile din Evaluarea Națională 2024, matematică, sesiunea iunie (Varianta 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru linii importante în triunghi · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

Evaluarea Națională 2026, iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →Evaluarea Națională 2026, model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →Evaluarea Națională 2026, rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →

Linii importante în triunghi Triunghiul: proprietăți și congruență Unghiuri Teorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).