Evaluare Națională 2024 · Matematică · sesiunea iunie · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA′B′C′ABCA'B'C' cu baza triunghiul echilateral ABCABC, AB=12 cmAB = 12\text{ cm} și AA′=33 cmAA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul segmentului ABAB.

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C' cu M mijlocul muchiei AB.

a)2 p

Arată că aria laterală a prismei ABCA′B′C′ABCA'B'C' este egală cu 1083 cm2108\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AABB′A′=AB⋅AA′=363 cm2\mathcal{A}_{ABB'A'} = AB \cdot AA' = 36\sqrt{3}\text{ cm}^21 p
  2. Alaterala˘=3⋅AABB′A′=3⋅363=1083 cm2\mathcal{A}_{\text{laterală}} = 3 \cdot \mathcal{A}_{ABB'A'} = 3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\text{ cm}^21 p

b)3 p

Determină distanța de la punctul MM la planul (A′B′C)(A'B'C).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 6155 cm\dfrac{6\sqrt{15}}{5}\text{ cm}

Barem oficial

  1. A′C=B′CA'C = B'C, deci CN⊥A′B′CN \perp A'B', unde punctul NN este mijlocul segmentului A′B′A'B' și, cum MN⊥A′B′MN \perp A'B', CN∩MN={N}CN \cap MN = \{N\} și CN,MN⊂(CMN)CN, MN \subset (CMN), obținem A′B′⊥(CMN)A'B' \perp (CMN)1 p
  2. MP⊥CNMP \perp CN, P∈CNP \in CN; A′B′⊥(CMN)A'B' \perp (CMN), MP⊂(CMN)MP \subset (CMN), deci A′B′⊥MPA'B' \perp MP; cum A′B′∩CN={N}A'B' \cap CN = \{N\}, A′B′A'B' și CN⊂(A′B′C)CN \subset (A'B'C), obținem MP⊥(A′B′C)MP \perp (A'B'C), deci d(M,(A′B′C))=MPd(M, (A'B'C)) = MP1 p
  3. Triunghiul MNCMNC este dreptunghic în MM, MN=33 cmMN = 3\sqrt{3}\text{ cm}, CM=63 cmCM = 6\sqrt{3}\text{ cm}, deci CN=315 cmCN = 3\sqrt{15}\text{ cm}, de unde obținem MP=6155 cmMP = \dfrac{6\sqrt{15}}{5}\text{ cm}1 p

· Toate exercițiile din EN 2024, sesiunea iunie (Varianta 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și volume ale corpurilorDistanțe în spațiuParalelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).